1. 如图所示一个理想的低通滤波器其传递函数H(ω)，输入一个零均值、方差为2σ的白噪声（不相关随机变量）序列w(n)。
1) 求解输出序列X (n)的功率谱密度()xxPω并画出其图形；2) 证明X (n)的自相关()xxR m可以表达为：2sin()2()22xxmR mmπσπ=并画出其图形，根据图形说明该滤波器的作用；3) 用两种方式说明22(X)2Eσ=：A.2(X)(0)xxE r=B.21(X)()2xxE P dππωωπ-=⎰解：1）由题意可知，零均值白噪声的功率谱为2()ww wPωσ=，传递函数为()Hω，则，输出序列()X n的功率谱密度()xxPω为：2224,()|()|220,wjxx wP H eωππσωωσ⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩其它其功率谱密度图形如下图所示：2）因为自相关和功率谱密度互为傅里叶逆变换，则：/22/22222/2/22222111()()| 22211()2sin222sin2444422j m j m j m xx xxj m j mwww wwR m P e d e d ejmme e jjm jmmmπππωωωπππππωωωππππππσσπσσσπ----====-==⎰⎰g gg g g g()xxR m图为：由图形可知,该滤波器的波形为：3）根据题意可得：A. 2222sin sin22()(0)222|lim22w mx wx wmmXmm mE rσσπππσπ=→====B. 22222411()()222x wx w E X P d d ππππωσπσωωπ--===⎰⎰2.如图所示，滤波器由下式所述1n n n y x x -=-，其中输入是一个确定性信号n s b n =•(b 是个已知常量)和零均值随机白噪声序列n d 组成，其中噪声方差为2σ，使用叠加原理计算：1）计算输出中信号的成分并绘图；2） 计算噪声功率（即输出中噪声成分的方差）； 3）计算输出中噪声成分的功率谱密度函数并绘图； 4）描述该滤波器的作用并评价其效果。
解：1）当输入信号n S b n=g 时，由题可知1n n n y x x -=-，则(1)n y bn b n b =--=输出信号图为：2）对于均值为零的白噪声nd ，其功率谱为2()dd P ωσ=，输入白噪声后，输出功率谱为22()|()|j yy P H e ωωσ=对于给滤波器而言1n n n y x x -=-，对其做Z 变换，可得1()1H z Z -=- 则22()1|()|()()(1)(1)222cos |()|()()(1)(1)222cos j j j j j j j j j j j j j j j j H e e H e H e H e e e e e H e H e H e e e e e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω-------=-==--=--=-==--=--=-g g 则输出中噪声成分的功率谱密度函数为：222()|()|(22cos )j yy P H e ωωσωσ==-输出中噪声成分的方差为:2211(0)()(22cos )222xx yy r P d d ππππωωωσωσππ--==-=⎰⎰3） 由2）可得，输出函数的功率谱密度函数为：222()|()|(22cos )j yy P H e ωωσωσ==-功率谱密度函数的图形为：4）由上式可知，系统的频率响应为()1j j H e e ωω-=-，则是一个高通滤波器。
3. 一个AR 模型描述的随机信号的功率谱密度函数定义如下222225()|A()||1e 0.5e |xx j j P ωωωσωω--==-+ 其中2ωσ表示输入序列的方差。
1）当用白噪声激励该AR 系统时，计算该系统的差分方程； 2）若在该系统后接一白化滤波器H '(z)，求H '(z)的系统函数； 解：1） 当用才噪声激励该AR 系统时，输出功率谱密度为22()|()|j xx P H e ωωωσ=根据已知条件得225ωσ= 2221|()||1e 0.5e |j j j H e ωωω--=-+则系统的频率响应为：21()1e 0.5e j j j H e ωωω--=-+ 传递函数为：121()10.5H z z z--=-+ 所以有 12()()()0.5()X z W z W z z W z z --=-+ 故系统的差分方程为：()()(1)0.5(2)x n w n w n w n =--+-2）若在系统后加一白化滤波器H '(z)，则白化滤波器的系统函数为：1'12210.51111)0)5(.(H z z z H z z z -----+-+===4. 已知一ARMA 模型描述的随机信号n X ，其自相关为(m)xx R ，且其Z 变换(z)xx S 定义为：1(z )(z 3)13(z)9|z |212(z )(z 2)2xx S --=≤≤--， 1）若输入为白噪声序列，请给出该ARMA 模型所描述系统的传递函数H (z) ,并回答：该系统是唯一的吗?2） 对于序列 X (n)，求解其对应的稳定的白化滤波器。
解：1）信号自相关的z 变换为2212(z)|()|()()|1111111(z )(z 3)(z )()(z )()3273333399111111122(z )(z 2)(z )()(z )()22222j j xx w wz e S H e H z H z z z z z ωωσσ-===------===------则当2272wσ=时，1111(z )()33()()111(z )()22z H z H z z ---=--则传递函数有：123411(z )(z )33(),(),111(z )()221111()()33(),()111(z )()22H z H z z z z H z H z z --==----==-- 因此，该系统不是唯一的。
2）白化滤波器的传递函数'1()()H z H z =，其极点和零点都要在单位圆内，对于1） 中的4种系统的传递函数，其零极点在单位圆只有1()H z ，所以白化滤波器为'1(z 1()())21(z )3H z H z --==5. 已知一个由ARMA 模型描述的随机信号，其定义如下() 1.6(1)0.63(2)()0.9(1)x n x n x n w n w n =---++-其中()w n 是一个方差为2ωσ的白噪声序列。
1）确定该系统对应的白化滤波器及其零极点； 2）求()x n 的功率谱密度函数； 解：1）根据题意，对()x n 做Z 域变换121(z) 1.6(z)0.63(z)()0.9(z)X z X z X W z z W ---=-++可得传递函数为：112(z)10.9()()1 1.60.63X z H z W z z z ---+==-+则该系统对应的白化滤波器为：12'11()1 1.60.63()()(z)10.9W z z z H z H z X z----+===+ 白化滤波器对应的零极点为： 零点：120.9,0.7z z == 极点：0.9z =3） 由1）知112(z)10.9()()1 1.60.63X z H z W z z z ---+==-+ 则：211.810.90.9(1.810.90.9)(1.490.70.7)1.81 1.8cos (1.81 1.8c |()|()()()()os )(1.49 1.4cos )j j j jw jw jw j j j e e e e e H e H z H z H e H e e ωωωωωωωωω-----++----+=-==-= 所以()X n 的功率谱密度函数为：2221.81 1.8cos (1()|()|.81 1.8cos )(1.49 1.4cos )jw xx w w P H e ωσσωωω+=--=6. 已知一个由 AR 模型描述的随机信号，其定义如下(n)(1)0.6(2)()x x n x n w n =---+其中 w (n )是方差为2ωσ的白噪声，运用Yule-Walker 方程求解如下自相关的值(0),(1),(2)xx xx xx r r r解：由题意(n)(1)0.6(2)()x x n x n w n =---+通过移项可得(n)(1)0.6(2)()x x n x n w n --+-=由Yule-Walker 方程可得：0221(0)(1)(2)(1)(0)(1)0(2)(1)(0)0xx xx xx xx xx xx xx xx xx w a r r r r r r a r r r a σ⎡⎤⎡--⎡⎤⎤⎢⎥⎢⎢⎥⎥-=⎢⎥⎢⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎥⎦⎣⎦⎣⎣⎦，其中012110.6a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 则方程组为：2(0)(1)0.6(2)(1)(0)0.6(1)0(2)(1)0.6(0)0xx xx xx xx xx xx xxx w xx x r r r r r r r r r σ⎧--+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ 上式解得222(0)0.39(1)0.624(2)15.6xx xx x w x w w r r r σσσ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩7.设期望响应n d 是一个AR(1)过程，参数10.8458a =，激励零均值白噪声n ω的方差20.27σ=，由白噪声驱动的产生该过程的传递函数为11110.8458H z-=+。
n d 经过一个信道后，其中信道传输函数为2()H z 同样为AR(1)模型，在信道输出端加入零均值白噪声n v ，其方差20.1v σ=信道输出n n n x s v =+，n ω和n v 不相关，且211()10.9456H z z-=-。
1） 设计 N=2 的维纳滤波器以估计n d ； 2） 求最小均方差误差。
解：1） 由白噪声驱动的产生该过程的传递函数为11110.8458H z-=+ 则 1n n n d d ω-=-n d 的自相关//22()1m dd w a r m a σ=- //20.84580.2710.8458m =⨯- //0.8458m ≈则 (0)1dd r =，(1)0.8458dd r =又因为n d 经过一个信道后，其中信道传输函数为2()H z 同样为AR(1)模型则10.9458n n n s s d -=+n s 的自相关22()()()ss h h dd r m r m r m =*////20.94580.845810.9458m m =*- ////90.94580.8458m m l l ∞-=-∞=⨯⨯∑则 ////(0)90.94580.845810l l ss l r ∞=-∞=⨯⨯=∑///1/(1)90.94580.845810l l ss l r ∞-=-∞=⨯⨯=∑由 (0)0.1vv r =，(1)0vv r = 得到维纳—霍夫方程01012121h h h h +=⎧⎨+=⎩ 解得维纳滤波系数：0113h h ==2） 最小均方差误差为()()min 10(0)0(0)1(1)3ss ss ss J r h r h r =--=。