1泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章第 一 节3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞<N∈k k x sup 。

证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。

取0N m =，则有0 ,0N n x x N n >+<ε，令},,,,max{0021ε+=N N x x x x c ，则1 ,≥<n c x n 。

6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足∞<∑∞=1k kx（此时称级数∑∞=1k k x 绝对收敛），证明存在E ∈x ，使∑∞=∞→=1lim k kn xx （此时记x 为∑∞=1k kx，即∑∞==1k kxx ）.证明：令∑==nk kn xy 1，则∑∑++=++=+≤=-pn n k kpn n k kn p n xxy y 11。

由于∞<∑∞=1k kx绝对收敛，则它的一般项0→k x 。

因此0>∀ε，总0N ∃，当0,N p n ≥时，有ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必存在E ∈x ，使得∑∑∞==∞→==11limk k nk kn x xx 。

9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。

若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。

此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。

通常用E dim 表示E 的维数，并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。

证明酉空间nC 的维数为n ，并问当视nC 为实线性空间时，其维数是多少？证明：设n y x C ∈,，C ∈βα,，则有ny x C ∈+βα。

令)0,0,1,0,0(项共项第n k k =e ，则对任意的),,(21n x x x x =，必有∑==nk kk x x 1e，因此},,,{21n e e e 是空间nC的基，则n n=C dim 。

当视nC 为实线性空间时，可令基为},,,,,{11n n i i e e e e ，则对任意的),,(21n x x x x =，有∑∑==+=nk k k n k k k i x g x x 11))((Im )Re(e e ，所以n n 2dim =C 。

10．证明∞=],[dim b a C ，这里b a <。

证明：取],[,0,)(b a t k t t x kk ∈≥=，只需证},,{10 x x 线性无关。

为此对0≥∀n ，令01=∑=n k k k x c 。

则00!01=⇒=⇒=∑=n n n nk k k c c n x c 次求导。

因此必有011=∑-=n k k kx c，求该式求1-n 导后有00)!1(11=⇒=---n n c c n 。

依次类推，有001====-c c c n n ，所以对任意的0≥n ，都有},,{10n x x x 线性无关，即∞=],[dim b a C 。

第 二 节2.（点到集合的距离）设A 是E 的非空子集，E ∈x 。

定义x 到A 的距离为：}|inf{),(A A ∈-=y x y x d证明：1) x 是A 的内点⇔0),(>c x d A ；2) x 是A 的孤立点⇔A ∈x ，且0}){\,(>x x d A ； 3) x 是A 的外点⇔0),(>A x d 。

解：1）必要性：x是A 的内点内点的定义⇒ε∃，使得2A⊂B ),(εx ⇒Φ=B c x A ),(ε⇒c y A ∈∀，都有x y ≠⇒0}|inf{>∈-c y x y A ⇒0),(>c x d A 。

充分性：0),(>cx d A 距离的定义⇒ε∃，使得Φ=B c x A ),(ε⇒ε∃，使得A⊂B ),(εx 内点的定义⇒x 是A 的内点。

2）必要性：x 是A 的孤立点孤立点的定义⇒A ∈x ，且ε∃，使得}{),(x x =B A ε⇒A∈x ，且ε∃，使得Φ=B }}/{{),(x x A ε距离的定义⇒A ∈x ，且0}){\,(>x x d A 。

充分性：A ∈x ，且0}){\,(>x x d A 距离的定义⇒ε∃，使得Φ=B }}/{{),(x x A ε⇒ε∃，使得}{),(x x =B A ε孤立点的定义⇒x 是A 的孤立点。

3）必要性：x 是A 的外点外点的定义⇒ε∃，使得Φ=B A ),(εx ⇒A ∈∀y ，都有x y ≠⇒0}|inf{>∈-A y x y 距离的定义⇒0),(>A x d 。

充分性：0),(>A x d 距离的定义⇒ε∃，使得Φ=B A ),(εx 外点的定义⇒x 是A 的外点。

3．设A 是E 中的非空闭集，证明：A ∈x ⇔0),(=A x d 。

解：必要性：A∈x ⇒A∈∃y ，使得x y =⇒0}|inf{=∈-A y x y 距离的定义⇒0),(=A x d 。

充分性：0),(=A x d 距离的定义⇒0}|inf{=∈-A y x y ⇒A ⊂∃}{k x ，使得x x k →是闭集A ⇒A ∈x 。

7．举例说明无穷多个闭集之并不一定是闭集。

解：∞==-1)1,0[]11,0[k k 。

8．证明A A A '= 。

证明：设A ∈x ⇒A ⊂∃}{k x ，使得x x k →。

若}{k x ∃中有无穷项互异，则A '∈x ；否则有无穷多相取同一个值，则A ∈x ，由此可知：A A '∈x ，则A A A '⊂ 。

另一方面，由于A A ⊂且A A ⊂'，所以A A A ⊂' 。

综上所述，有A A A '= 。

9．证明：1）A 的内部是含于A 的最大开集，即}|{int A B B B A ⊂=是开集，且；2）A 的闭包是包含A 的最小闭集，即}|{A B B B A ⊃=是闭集，且 。

证明：1）设G 是含于A 的最大开集，则A A ⊂int ⇒G A ⊂int 。

设G ∈x 是开集G ⇒ε∃，使得G ⊂B ),(εx AG ⊂⇒ε∃，使得A ⊂B ),(εx 内点的定义⇒A int ∈x 。

所以A G int ⊂。

综上所述，A G int =，则表明A 的内部是含于A 的最大开集。

2）设G 是包含A 的最小闭集，且A A ⊂⇒A G ⊂。

设A ∈x ⇒A ⊂∃}{k x ，使得x x k →G A ⊂⇒G ⊂∃}{k x ，使得xx k →是闭集G ⇒G ∈x ，所以G A ⊂。

综上所述，A G =，则表明A 的闭包是包含A 的最小闭集。

10．利用习题9的结论证明：1）)int()(ccA A =，2）)()(int c c A A =。

证明：1）A A ⊂⇒c c A A ⊂)(。

c)(A 是开集，而由习题9的结论可知，)int(c A 是含于cA 的最大开集，所以)int()(ccA A ⊂。

此外，设)int(c x A ∈，而c x )(A ∉。

由)int(cx A ∈是开集)int(c A ⇒ε∃，使得cc x A A ⊂⊂B int ),(ε⇒ε∃，使得ΦB ＝A ),(εx 。

（1）3而由cx )(A ∉⇒A ∈x ⇒ε∀，都有Φ≠B A ),(εx ，此与（1）式矛盾，故c x )(A ∈，所以c c )()int(A A ⊂。

综上所述，有)int()(c c A A =。

2）A A ⊂int ⇒)int(c c A A ⊂。

这表明)int(cA 是包含c A 的闭集，而由习题9的结论可知，)(c A 是包含c A 的最小闭集，所以c c )(int )(A A ⊂。

此外，设cx )(int A ∈。

由cx )(int A ∈⇒Aint ∉x 是开集A int ⇒ε∀，都有A ⊄B ),(εx ⇒ε∀，都有Φ≠B c x A ),(ε。

特别有N ∈Φ≠B k k x c ,)1,(A ，因此取N ∈B =k k x x ck ,)1,(A ，所以有c k x A ⊂}{且x x k →，故)(c x A ∈，所以)()(int c c A A ⊂。

综上所述，有)()(int cc A A =。

12．设)}2,0{(}sin 0),2,0(|),{( x y x y x <≤∈=πA 。

试写出)int(A ，A 及A的孤立点的全体。

解：}sin 0),2,0(|),{()int(x y x y x <<∈=πA ；)}2,0{(}sin 0],2,0[|),{( x y x y x ≤≤∈=πA ；A 的孤立点)}2,0{(=。

13．设A 、B 、C 均是E 的子集，且C B ⊂，证明： 1）若A 在C 中稠密，则A 在B 中稠密 ； 2）若A 不B 中稠密，则A 不在C 中稠密。

证明：1）A 在C 中稠密⇒C ∈∀x ，存在A ⊂}{k x ，使得x x k →CB ⊂⇒B ∈∀x ，存在A ⊂}{k x ，使得x x k →⇒A 在B 中稠密。

2）A 不在B 中稠密⇒B ∈∃x 和ε，使得Φ=B A ),(εx CB ⊂⇒C ∈∃x 和ε，使得Φ=B A ),(εx ⇒A 不在C 中稠密。

第 三 节2．设B A →:T ，C B →:G ，且C D ⊂，证明：))(()()(111D D ---=G T T G 。

证明：设)()(1D -∈T G x ⇒D ∈)(Tx G ⇒)()(1D -∈G x T ⇒)(11D --∈G T x ⇒))(()()(111D D ---⊂G T T G ；另一方面，设))((11D --∈G T x ⇒)(1D -∈G Tx ⇒D ∈))((x T G ⇒)()(1D -∈T G x ⇒)()())((111D D ---⊂T G G T 。

综上所述，))(()()(111D D ---=G T T G 。

4．设1:E E T →，E x ∈0，证明：1）T 在0x 处连续⇔只要E x k ⊂}{满足0x x k →，则0Tx Tx k →；2）T 在0x 处连续⇔对于任意0>ε，存在0>δ，使),()),((00εδTx B x B T ⊂。

证明： 1）必要性：若E x k ⊂}{，且0x x k →⇒对于任意01>ε，存在0N ，使得当0N k >时，有),(10εx x k B ∈。