与之对应，使得对任意 x, y, z H , a K 满足： 1） x, x 0; x, x 0 ,当且仅当 x 0 ； 2） x, y y, x ； 3） ax, y a x, y ； 4） x y, z x, z y, z 。 称 x, y 是 H 上的一个内积， H 上定义了内积为内积空间。 从定义可以看出，内积 x, y 对于每一 y H ，是 H 上的一个线性泛函；当
x （齐次性） ；
3) 对任意 x, y X , x y x y （三角不等式） 。 称 记为 X ,
是 X 上的一个范数， X 上定义了范数
称为赋范（线性）空间，
，有时简记为 X 。

在一个赋范线性空间 X ,
d x, y x y ,
中通过范数可以自然地定义一距离，
应用泛函浅析
摘要：在教科书中“泛函分析”具有高度抽象以及概括性的特性,是现代数学
分析的重要基础,因其在微分方程、积分方程、变分法、量子力学等领域有广泛 的应用,国内大多数理工科院校将其作为非数学专业硕士及博士课程开设。 但是, 由于这门课程的高度抽象性,往往使我们在诸多抽象概念和缺乏直观意义的定理 面前望而却步。虽然泛函分析具有很抽象的特性,这并不说明其是由抽象的数学 构思组成。 在泛函分析中,需要对相关的概念进行高度概括,这样间接的导致了学 者们丢弃了很多直观的表达, 而为了保障数学的严密性, 造成了其概念的抽象 性。 即使如此其还在很多学科中有着广泛的应用, 例如微、 积分方程等。 由此, 对 “泛函分析” 的基本概念进行了解和掌握时非常有必要的。本文就算子及其收敛 性以及共轭与相伴算子等泛函分析中的几个基本的概念展开分析和探讨,以期能 提升自己对泛函分析概念的认知。
K C 时，对于每一 x H ， x, y 是 H 上的一个共轭线性泛函，即它是可加的
并且是共轭齐次的： x, ay a x, y 。 1.2 Banach空间 定义1.2 设 X 是域 K (实数域或复数域)上的线性空间，函
数: : X R 满足条件： 1) 对任意 x X , x 0; x 0, 当且仅当x 0 ； 2) 对任意 x X , 及a K , ax a
X , 。
在定义空间以后，我们需要对泛函中的距离做出定义。 定义 1.5 泛函中距离的定义只是我们在二维欧式空间中距离的延伸，使用
距离的性质来定义一个更加抽象一般的距离：设 X 是非空集，若对于 X 中任意两 个元素 x 与 y，都对应一个实数 x, y 且满足如下的三条公理。
x y x y 是完备的，亦是
设 X 是任一非空集， 对 X 中任意两点 x, y 有一实数 d ( x, y ) 与之对
3) d ( x, y ) d x, z d z , y 。 （三角形不等式）
称 d ( x, y ) 为 X 中的一个距离，定义了距离 d 的集 X 称为一个距离空间，记为
T -1 L 同样属于有界的线性算子
【4】
。在“ 逆算子定理”中,Banach空间中有界
线性算子 T 若为双射,就一定会有相应的逆算子 T 1 ,而且算子的连续性具有一致 性。逆算子 T 1 的连续性在实际的应用中非常的关键,当 T 1 不是连续的算子时, 依据设定的 y 值没有办法找出这种错误的因素 x 。甚至可以将其视为连个不一样 的输入值 x1以及x2 都会产生基本上一致的输出值 y1和y2 ,这就会对最终的判断造 成误导或影响。
X , d ，在不引起混乱的情形下简记为空间至今仍然是现代数学乃至自然科学中与之有关的各种问 题和理论讨论或阐述的最广泛的框架。 定义 1.4 设 X 是任一集， 是 X 的子集构成的集族，且满足条件： 1) 集 X 与空集∅属于 ; 2) 中任意个集的并集属于 ； 3) 中任意有穷个集的交集属于 。 则称 是 X 上的一个拓扑.集 X 上定义了拓扑 ，称它是一个拓扑空间，记为
（1） 非负性 x, y 0, x, y 0, 当且仅当 x y ； （2） 对称性 x, y y, x ； （3） 三角不等式 x 、 y 、 z X x ,有
x, y x, z z , y
则称 x, y 为 x 与 y 间的度量（距离），称 X 为以 为度量（距离）的度量 空间（或距离空间），记作 X , ，或简记为 X . 当距离设定好后, 就要面对其所在的空间是否满足所需的要求。 在实空间中 对一个笔的尺寸进行测量, 其测量结果可以精确至无穷数。而在数学的理念中, 测试的精度是呈“无限”的概念【3】。这就意味着在实际的过程中需要采用无理 数进行表示该空间中的极限状况。 所以我们对笔尺寸的测量既有测量结果无限符 合其实际尺寸, 又有无法测量其真实尺寸。 从认知论出发,这是一个错误的结果, 但在空间中,从元素的立场看其是非常科学的。在实际的应用中还需要对算子的 有界和连续进行掌握。 算子的有界性是指其所在的空间模型对初始的偏差和错误 数据做无限处理; 算子的连续性是指测量数据近似于实际值时, 模型的输出数 据也与实际值想接近。 在算子中, 需要对于泛函分析中的 “逆算子定理” 需要进行了解和掌握。 “逆 算子定理”时指在Banach空间 X、Y 上的有界的线性算子 T L ,而其逆算子
T 确定的情况下,对于经验模型T的检验直接用T*进行即可,其对于经验数据没
有任何的依附性。
3 共轭算子与相伴算子
在 “ 泛函分析”中, 还有两个非常重要的基本概念,他们分别是Banach空间 的共轭算子,以及Hilbert空间中相伴算子。 这两个基本的概念在其定义上很抽象, 基本上无法对其进行直观的理解。 首先我们结合企业的生产过程对Banach空间的 共轭算子为例进行分析和阐述。假定企业所采用的原料有 n 种,而生产的产品有
关键词:
泛函分析 算子 共轭算子 相伴算子。
1 空间与算子
从空间中定义距离的必要性开始,在空间 y 中,以距离的定义为起始【1】。假 定输入值 x X ,就能够按照既定的模型(算子 T )来计算出输出 y Tx ,进一步的 通过实际的测量就能够得到真实的输出通过实测得到的真实输出 y ,这个过程 中就涉及到一个关键点, 即怎样明确的得到预测的偏差以及对模型结论的好坏 的评价。 定义距离最简单和最重要的途径就是引进范数,而引进范数的线性空间就是 赋范线性空间。下面简要介绍几个常用的空间定义。 1.1 Hilbert空间 定义1.1 设 H 是域 K 上的线性空间，对任意 x, y H ，有一个 K 中数 x, y
T x1 x 2 Tx1 Tx 2 ，
则称T是以 DT 为定义域的 X 到 Y 的线性算子。 特别当 DT X , Y 是实数域或复 数域时，称 T 是 X 上的线性泛函。设 X C a, b ( a, b 上的连续函数全体),
K t , s 是 a, b a, b 上的二元连续函数， 定义 Tx t K t , s xs ds ， 则T 是 X 到
m 种,则该企业的原料的使用量对应的是 X ,而生产的产品对应的是 y ,于是该
企业的生产就能够用 Y TX 来表述。 于是 T 又同时是 n m 的矩阵,其代表了企业 生产过程中原料投入以及产品产出间的联系。 对于企业来说,获得利益是其最终的目的,所以在原料的处理中, 就有以原 料制备产品进而进行出售以及倒卖原料的两种方法可以获得利润。 在企业制造产 品并进行出售而获利的整个过程, 可以视为共轭算子概念中的 f TX 。f 的定义 是很确定的,即 m 种产品的销售价格,在数学领域中属于 m 维向量。而直接倒卖 原材料也可以获得利润,计为 f X 。 当 f TX f X 时,也就是说制造产品进 行销售和倒卖原料所获得利润相等。 其可作为没有新的企业进入到该领域的生产 中, 也不不存在原企业退出该生产领域的一种平衡。 f TX f X 时,表明倒 卖原料获得的利润大于制造产品进而销售获得的利润。这种情况下,一定有企业 退出生产并进行倒卖原料。 这样在一定程度上会导致原料供给的增加以及产品数 量的下降, 进一步的就会造成原料价格的下降以及产品价格的升高,也会逐渐的 使得 f TX 和f X 相互靠近。 f TX f X 时,就会出现企业进入产品的制造 领域, 这样就会造成最终产品价格的下降以及原料价格的上升, 最终也会使得
b a
X 的线性算子【6】。
在算子收敛性的探析中, 把分析的目标置于准确模型 T 以及经验模型 T 中。 那在这个过程中, 对于经验模型与准确模型间的差距具体的差异性, 通常是 以算子的收敛性进行分析和理解的。 在准确模型 T 不确定的情况下,利用经验模 型T把输入值 X 计算 TX ,通过对比就可以得出那个更接近与真实 T X 也就可以 达到评价那个模型好坏的目的。 在强收敛算子的检验中有一个关键的设定,即方法有重要的前提【7】, 即 TX 和 T X 两者间可以进行对比分析。 在真实的世界中,有很多的事物人们还无法认 知, 以对固定器具中的氮气加热为例。 我们知道氮气有很多的分子, 我们无法对 任何一个氮气分子进行了解, 但将其转化为宏观表达后就可以以全部的气体分 子为一个整体进行其平均分子运动状态的研究。 在研究的过程中, 不同的压强以 及温度是算子中的弱收敛特性。 弱收敛就是指将抽象的以及不能直接认知的事物 通过转化变为可准确测定并可以进行对比的数据。 在算子的强收敛以及弱收敛的 检验模型中,都是以准确模型中 T 不确定的情况下进行的。这是由于准确模型
2 算子的收敛性
出现在各个数学领域中具有线性性质的运算（例如线性代数中的线性变换； 微分方程论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等）的抽象 概括【5】。它是线性泛函分析研究的重要对象。关于线性算子的理论不仅在数学 的许多分支中有很好的应用，同时也是量子物理的数学基础之一。中国物理学 界习惯上把算子称为算符。 定义 2.1 线性算子与线性泛函 设 X、Y 是两个（实数或复数域上的） 线性空间， T 是 X到Y 的映射。 T 的定义域和值域分别记为 DT 、RT 。如果对 任何数 、 和 x1、x 2 DT ，满足 x1 x 2 DT ，并且