浅谈实变函数中的开集和闭集
【摘要】开集和闭集是实变函数中的两个重要概念，本文以开集和闭集的定义为基础，讨论开集和闭集的运算性质及两者间的对偶关系及性质的证明.
【关键词】开集；闭集；对偶性；证明
[Abstract] Open sets and closed sets are real variable function of two important concepts，this paper discusses the dual nature of the relationship between computing and open set and closed set between the two.
[Keyword] Open sets；closed sets；Duality；Proof
1.开集和闭集的概念
定义1 设E?Rn，如果E的每一点都是E的内点，则称E为开集.
注1 开集定义的内涵、基础是邻域、距离的概念，由邻域精确地刻画了“内点”。

注意在不同的空间看待同一个点，同样的半径，邻域范围不同。

如原点O的ε邻域u（O ，ε）：R上，开区间内（-ε，ε）R2上，开圆内x2+y2<ε 2 R3上，开球内x2+y2+z2<ε 2.
注2 由开集的内涵，直观上得开集中不含界点与孤立点.
注3 开集的定义与长度的度景直接相关，这是可测集的
测度由开集转换的内在因素之一.
定义2 设E?Rn，如果E的每一个聚点都属于E，则称E 为闭集.
注1 聚点包含内点与界点（不含孤立点），由定义直观上得出闭集包含了所有的内点与界点.
注2 由此任一集合，包含部分边界又不包含所有的边界，则它既不是开集，也不是闭集.
定理1 对任何E?Rn，是开集，和都是闭集
2.开集和闭集的性质
定理2 （开集与闭集的对偶性）设E是开集，则C是闭集；设E是闭集，则C是开集.
证明第一部分：设E是开集，而p0是C的任一聚点，那么，p0的任一邻域都有不属于E的点. 这样，p0就不可能是E的内点，从而不属于R（因R是开集），也就是p0∈C.
第二部分：设E是闭集，对任一p0∈C，假如p0不是C的内点，则p0的任一邻域至少有一个属于E的点，而且这点必异于p0（p0∈C）这样p0就是E的聚点，从而必属于E（因E是闭集），和假设矛盾.
定理3 任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集.
证明第一部分显然，现证第二部分.不妨就两个开集来
证明.
设G1，G2为开集，任取P0∈G1∩G2. 因P0∈Gi，i=1，2，故存在Ui （P0）?Gi，i=1，2.
由邻域性质（2），存在U3 （P0）?U1（P0）∩U2（P0）从而U3（P0）∈G1∩G2，可见P0是G1∩G2的内点，证毕.
定理4任意多个闭集之交仍是闭集，有限多个闭集之和仍是闭集.
定理5开集减闭集后的差仍是开集；闭集减开集后的差仍是闭集.
证明设G是开集，F是闭集，则CG是闭集，C是开集.
所以G-F=G∩C是开集，F-G=F∩C是闭集.
定理 6 每个闭集必是可数个开集的交集；每个开集可以表示成可数个闭集的和集.
证明设F是闭集，令，Gn是开集：
任意x0∈Gn ，d（x0，F）<，所以存在y0∈F，使d（x0，y0）=δ<
令ε=-δ>0 ，任意x∈U（x0，ε），d（x0，x）<ε
d（x，y0 ）≤d（x0，x）+d（x0，y0）<ε+δ=ε+-
ε=
于是d（x，F）=d（x，y）≤d（x，y0 ）< ，得x∈Gn 这样U（x0，ε）?Gn，故Gn是开集.
设x∈?Gn ，对任意n，x∈Gn，d（x，F）<. 令n→∞，得d（x，F）=0.由于F是闭集，必有x∈F，即?Gn?F又Gn?F，n=1，2，…，所以?Gn?F因而?Gn=F，F是可数个开集的交集.
若G是开集，则CG是闭集，所以有开集Gn，使
CGn=?Gn，
所以G=C（CG）=C（?Gn）=?CGn，而CGn是闭集，因而G是可数个闭集的和集.
参考文献：
[1]熊国敏，实变函数中的开集和闭集，安顺学院学报2004（2）
[2]魏国强，胡善文等，实变函数与泛函分析基础，高等教育出版社，2003年7月。