浅谈学习实变函数的感受——从Riemann 积分到Lebesgue 积分摘要：积分是整个数学分析中最重要的概念，现有的积分主要分为两种，一种是近代数学核心的黎曼积分（R 积分），另一种是实变函数论的重点勒贝格积分（L 积分）。
两者是独立的，却又有联系，本文主要简单讲解R 积分和L 积分的相关知识点，粗浅地了解一下R 积分和L 积分。
仅仅从函数的应用上来说，L 积分又比R 积分广泛些，R 积分在应用上有很大的局限性，而L 积分摆脱了R 积分的应用困难，扩大了应用范围。
关键字：黎曼积分（R 积分）、勒贝格积分（L 积分）、定义、定理、区别、联系一、Riemann 积分的相关知识 1、R 积分的定义f （x ）是在[a,b]区间上的有界函数，在[a,b]取n 个分割点，即是a<x 1<x 2<....<x n <b,在某个小区间[x i ,x i+1]上任取一点εi ，i=1,2,3,....作和）（）（i 1i n1i i x -x f S +=∑=ε. 令)(max r 11i i ni x x -=+<=<=，如果r →0时，s 趋于有限的极限，则称f （x ）在[a,b]上的黎曼积分，记作dx x f R I b a⎰=）（. 2、R 积分的充分必要条件 f （x ）在[a,b]上黎曼可积⇔dx x f m lim lim )(f ba11⎰∑∑⎰====∞→=∞→—）（i ni i n i n i i n baM dx x εε其中M i =sup{f(x)}，m i =inf{f(x)}，x i <x<x i+1.ξεξ<∃>∀⇔∑=i n1i i m T ,0，使分割.ξεηξη<∃>∀>∀⇔∑/W i i T ,0,0 。
3、R 积分的缺陷（a ）微积分基本定理条件太强微积分基本定理在整个微积分学中起着至关重要的作用，遗憾的是并非所有Riemann 可积函数都能使这一定理成立，这是Riemann 积分的一大缺陷。
如果f （x ）是区间[a,b]上的连续函数，并且F'（x ）=f （x ），那么）（）（）（a F -b F dx x f ba=⎰。
这个结论叫做微积分基本定理。
（b ）R 积分和极限的可交换条件太严可积函数{f n }一致收敛 dx x f lim dx x limf ban nban ）（）（⎰⎰=⇔二、Lebesgue 积分 1、勒贝格积分的定义设E ∈R q 为可测集，f （x ）是E 上的一个非负可测集函数，f （x ）在E 上的勒贝格积分定义为{}⎰⎰<<=∈=EE)(f (0E x E x dx x sup dx x f x x ）时，上的简单函数且）是（：）（）（ϕϕϕ 显然+∞<=<=⎰dx x f 0E）（,若上勒贝格可积。
）在（则称）（E x f ,dx x f E+∞<⎰ 2、定理一：（Lebesgue 定理）.设1）E 是测度有限的可测集合，2）f 1（x ）,f 2（x ）,…,f n (x),…是E 上的可测函数，|f n (x)|<<+∞p.p.于E （n=1,2,3，…），3）{f n （x ）}在E 上几乎处处收敛到f （x ），且|f （x ）|<+∞p.p.于E ；则在E 上f n （x ）⇒f （x ）。
3、定理二：（Lebesgue 有界收敛定理）.设1）f 1（x ），f 2（x ），…，f n （x ），…是E 上的一串可测函数， 2）它们一致有界，即有正常数M ，使|f n （x ）|<=M(n=1,2,3,…;x ∈E) 3） f n （x ）⇒ f （x ） 则dx x f dx x f lim EEn n ⎰⎰=∞→）（）（ 4、（非负简单函数的Lebesgue 积分）设E ⊆R q 为可测集，）（x ϕ为E 上的一个非负简单函数，我们有i)对于任意的非负实数c ，⎰⎰=⋅EEdx x c dx x c ；）（）（ϕϕii ）设A 和B 是E 的两个不相交的可测子集，则dx x ⎰⎰⎰⋃+=BA AB)(x dx x ϕϕϕ）（）（；iii ）设{}∞=1n n A 是E 的一列可测子集，满足①.A A A 1n 21 ⊆⊆⊆⊆⊆+n A②.E A n 1n =∞=则 dx x dx x limnA En ⎰⎰=∞→）（）（ϕϕ5、非负可测函数的Lebesgue 积分定理三（列维Levi ）设E ∈R q 为可测集，{}∞=1n n f 为E 上的一列非负可测函数，当x ∈E 时对于任一自然数n ，有f n （x ）<=f n+1(x),令f(x)=）（x f lim n n ∞→,x ∈，则⎰⎰=∞→En dx x dx x f )(f lim En ）（定理四（Lebesgue 逐项积分定理） 1）F （x ）是E 上的可积函数，2）F 1(x)，f 2（x ），…，f n （x ），…是E 上的一串可测函数， 3）|f n （x ）|<=F(x),n=1,2,3,…,4））；（）（x f x f n ⇒ 则dx x f )(f lim En n ⎰⎰=∞→Edx x ）（6、一般可测集合上的积分以往我们总假定mE<+∞,现在我们把这个限制移去。
设E 是一可测集合，f （x ）是E 上的一个函数，令⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=时当时）当（）（E x 0E x x f x F _则F （x ）就成了整个空间上的函数。
因此以下我们只考虑整个空间R 上的积分，而无伤于普通性。
现在设f(x)是一个一般的函数，我们定义，）（当时）（）当（）（⎩⎨⎧<≥=+0x f 00x f x f x f ⎩⎨⎧<≥=时，）（）当（时）（当）（0x f x f -0x f 0x f -于是分别考虑非负函数f +（x ）和f -（x ）的积分，如果 ⎰⎰+Rdx x dx x f ,)(f -R都是意义，且不同时为无限，我们就定义f （x ）的积分值为dx x f -dx x f dx x f R-RR⎰⎰⎰+=）（）（）（ 如果上述两个积分都是有限的，则我们就说f （x ）在R 上可积。
显然，如果f （x ）有积分值，则f （x ）可测，并且还有）；（）；（）（-Rf R mG -f R mG dx x f ⎰+=。
定理一 非负函数f （x ）在R 上有积分值得充要条件是f （x ）在R 上非负可测，此时⎰=Rf R mG dx x f ），；（）（而f （x ）在R 上可积则相当于f （x ）非负可测。
且下方图形的测度有限。
定理二 可测函数f （x ）在R 上可积的充要条件是|f （x ）|可积。
定理三 若f 1（x ），f 2（x ），…，f n （x ），…是一串非负可测函数。
；）（）（∑∞==1n n x f x f 则dx x n∑⎰⎰∞==1n RR)(fdx x f ）（定理四 设E ⊆R q 为可测集，我们有（i ）若E ≠ø但mE=0，则E 上的任何实函数f 都在E 上L 可积且⎰=E0dx x f ）（；（ii ）若f ∈L （E ），则mE(|f|=+∞)=0.即|f （x ）|<∞a.e.于E ；（iii ）若f 在E 上积分确定，则f 在E 的任意可测子集A 上也积分确定，又若E=A ⋃B ，这里A 和B 都是E 的可测子集且A ⋂B=ø，则；）（）（）（⎰⎰⎰+=BEAdx x f dx x f dx x f （iv ）设f 在E 上积分确定且f （x ）=g （x ）a.e.于E ，则g 也在E 上积分确定且⎰⎰=EEdx x g dx x f ）（）（；（v ）设f 和g 都在E 上积分确定且f （x ）<=g （x ）a.e.于E ，则⎰⎰≤EE.dx x g dx x f ）（）（特别地若mE<+∞且b<=f(x)<=B a.e.于E ，则b*（mE ）<=⎰Edx x f ）（<=B*（mE ）; (vi )设f 在E 上L 可积，则|f|也在E 上L 可积，且⎰⎰≤EEdx x f dx x f ；）（）（（vii ）设f 是E 上的可测函数，g 是E 上的非负L 可积函数且|f （x ）|<=g（x ） a.e.于E ，则f 也在E 上L 可积且⎰⎰⎰≤≤EEE.dx x g dx x f dx x f ）（）（）（ 三、Lebesgue 可积和Riemann 可积的联系过去在数学分析中，我们学过Riemann 积分，现在我们又对有界函数定义了一种新的积分，即所谓的了Lebesgue 积分，因此我们要弄清这两种积分之间的关系。
F 在[a,b]上Riemann 可积⇒f 在[a,b]上Lebesgue 可积. 当f 在[a,b]上Riemann 可积时，还有⎰⎰=bab adx x f L dx x f R ）（）（）（）（（其中左边的积分表示f （x ）在[a,b]上Riemann 积分）反例：Dirichlet 函数 D （x ）= 1，x ∈Q 0，x ∈R-QD （x ）在[0,1]上Lebesgue 可积，但它在[a,b]上不是Riemann 可积 由于0)(10=⎰dx x D —，1dx x D b a=⎰—）（，所以dx x D dx x D baba ⎰⎰≠——）（）（.四，总结数学的发展表明：黎曼积分和勒贝格积分在各自相应的时期都发挥着巨大的 作用.从狭义上看，勒贝格积分可以看作是黎曼积分的推广，同时勒贝格积分的创立是积分发展从近代水平向现代水平升华的一次智力革命，勒贝格积分不仅扩大了可积函数类，而且还由于它独特的性质，解决了许多古典分析中不能解决的问题，使数学进入了现代分析时代.可以预测：随着科学和社会的不断发展， 积分理论也会越来越完善!参考文献：《实变函数论》 江泽坚 吴智泉合编 人民教育出版社 1961年 《实变函数论》 徐森林 薛春华编著 清华出版社 2009年《实变函数与泛函分析基础第三版》 程其襄 张奠宙 魏国强 胡善文 王漱石编 高等教育出版社 2010.6。