图形X内两条有共同端点的道h1,h2 说成在这个图形内同伦，是说（利用 在图形x内变动的）形变可以把h1变 成h2;道路的同伦记作h1~h2
现在来讨论先沿h1后沿h2而得到的道 路，这个道路记作h1h2,并叫做道路h1 和h2的乘积。 因为在通过一条道路后得到的函数f(x) 的值在这条道路的同伦下不改变，所 以我们可以不区分同伦的道路。 换句话说，需要考虑的不是道路（以 点x0为起点和终点）本身，而 是道路类，在同一类里包含全体 彼此通伦的道路.
类的乘法像上一节规定的那样： 如果a和b是两个道路类（都以点x0 作为起点和终点),而h和k是它们的代 表 即 a= [h] b= [k] 则以道路hk为代表的类就叫做类a和 b的乘积，即 ab= [hk]
我们注意到，如果把h和k换成所讨论的 类a和b的别的代表h’和k’, 则我们得到与 道路hk同伦的道路h’k’，即决定同一个 类： [h’k’]= [hk] 因此，两个类的乘积由这些类本身决定， 而与其代表的选取无关。明显的，集合 （X)对所引用的乘法成为一个 群.
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让我们简略的说明一下这个结论 为何成立? 如h是属于类a的任何道路，而q 是可以收缩成点的道路，则qh~h 且hq~h（如图）.所以，当用记号 1表示可收缩成点的所有道路的类 时，我们得出 1a=a,a1=a 对任何类a∈ （X）成立，即类 1对于在 （X）里所做的乘法 是单位元素。


其次，如果a是某个类且h是它的代表， 则我们用h¹ 表示向相反方向通过的道路 h（如图.于是道路hh¹ h都可以收缩 和h¹ 成点）.所以,当用a¹ 表示道路h¹ 所属的类 时，我们得出aa¹ =1,a¹ a=1,即在 （X） 中对每个元素a都存在逆元素。 容易证明 （X）中的乘法是结合的。 因此，集合 （X）是群。它叫做图形 X（在点x0处作出）的基本群。

谢谢！
同伦于道路h的全体道路类记作[h],而 所有这些类的集合则记作 （x).这些 类可以相乘，于是包含道路hk的类叫 做所取得两个类的乘积： [h]x [k]= [hk]
同伦道路类和这些类的乘积可以对任意图 形X讨论。 在X内只讨论这样的道路，它以固定点 x0∈X作为起点和终点。任何两个这种道 路都能相乘。 我们只讨论道路类，在同一类里包含着所 有彼此同伦的道路。 如果a是一个类，且h是属于这个类里的一 条道路，则就说h是类a的代表,且写成a= [h].全体类的集合记作（X)。