2
2
例3、已知a1+a2+a3+a4>100,求证：a1,a2,a3,a4中
至少有一个数大于25。
例4、求证：2, 5不可能是一个等差数列中的三项。 1，
例5、如图，直线a平行于平面α，β是过直线a的平面， 平面α与β相交于直线b，求证：直线a平且a = x - 2y +
§1.3. 反证法
一.复习
1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法:已知条件⇒ ⇒ ⇒ 结论
由因导果 分析法: 结论 已知条件 执果索因 3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法提供思路，再由综合法写过程
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都 撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
分析: 假设C没有撒谎, 则C真; 那么A假且B假; 由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 则C必定是在撒谎.
由假设
推出矛盾.
那么假设“C没有撒谎”不成立; 推翻假设.
原命题成立.
反证法：(命题的否定)
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。
反证法的思维方法：
正难则反
反证法：
①假设原命题不成立，
反证法的基本步骤：
②经过正确的推理,得出矛盾，
③因此说明假设错误, ④从而证明原命题成立, 这样的的证明方法叫反证法
得出矛盾的方法：
四步
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明比较困难; (2)直接证明需分成很多类,而对立命题分类较少; （3)结论有“至少”,“至多”,“有无穷多个”之类字样 （4）结论为 “唯一”之类的命题；
2

2
,
b = y - 2z +
2

3 6 求证:a,b,c中至少有一个大于0.
,c = z - 2x +
2

,
2.设a,b是异面直线，在a上任取两点A,C， 在b上任取两点B,D， 试证：AB和CD也是异面直线.
A
C a
B D b
归纳总结：
1.哪些命题适宜用反证法加以证明？
•笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法； •具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或 含有“至多”、“至少”等不确定词， 此外，“存在性”、“唯一性”问题.
例1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶 数. 证: 假设这个数是奇数,可以设为2k+1, k Z . 则有
(2k 1) 2 4k 2 4k 1
而
4k 2 4k 1 （k Z）不是偶数
这与原命题条件矛盾.
例1.已知a,b,c为正数，求证: 1 1 1 a + ,b + ,c + 中至少有一个不小于2. b c a
例2 求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
∴ m = 2n
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n 2 2
∴ m = 2n
2 2
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k = 2n ，即n = 2k ∴n2 也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。