1
4
9
p( y j ) 0.25 0.40 0.25 0.10
于是数学期望
E(Y ) 0 0.25 1 0.40 4 0.25 9 0.10
2.30.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
（2）设连续随机变量 X的概率密度为 f (x) , 则随机变
可列表如下：
Y g(x1) g(x2 ) g(xn ) p( y) p(x1) p(x2 ) p(xn )
则
E(Y ) Eg(x) g(xi )p(xi ).
i
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§3.2 随机变量函数的数学期望
说明：
(1) 一般来说,上表不一定是 Y g( X ) 的概率分布
解：随机变量 X 的概率密度为
所以
f (x) 1π , 0 ,
0 x π; 其它.
E(Y )
sin xf (x)dx
π sin x 1 dx
0
π
1
π
sin xdx
2.
π0
π
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§3.2 随机变量函数的数学期望
说明：也可以先求出Y sin X的概率密度
表，但有了这个表格就可以计算 Y 的数学期望.
例如：
设 g(xi ) g(xj ) yk , 则由加法定理有
此时
P(Y yk ) p(xi ) p(x j ),
yk P(Y yk ) yk[ p(xi ) p( y j )]
g(xi ) p(xi ) g(x j ) p(x j ).
补充例题
[例1] 设X 服从参数为1的指数分布,求 E( X e2X ) . 解： 已知 X ~ e(1) , 则 X 的概率密度为
ex , x 0 ; f (x)
0, x 0 . 则
E( X e2X ) (x e2x ) ex dx 0
E(g( X )) g(xi )p(xi ).
i
若 X 为一维连续随机变量，且 Y g( X ) ,则
E[g(X )] g(x) f (x)dx.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
二维情形
若 (X ,Y )为二维离散随机变量，且 Z g(X ,Y ) , 则
fY ( y) π
2, 1 y2
0 ,
再计算数学期望
0 y 1; 其它.
E(Y )
1
y 0π
2 dy 1 y2
2 1 π0
y dy 1 y2
2. π
但这样麻烦，从例1、例2 知： 计算随机变量函数的 数学期望不必求随机变量函数的分布.
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E[g( X ,Y )] g(xi , y j ) p(xi , y j )
ij
若(X ,Y )为二维连续随机变量，且 Z g(X ,Y ) ,则
E[g( X ,Y )] g(x , y) f (x , y)dxdy
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§3.2 随机变量函数的数学期望
ij
（2） 设二维连续随机变量( X ,Y )的联合概率密度为
f (x , y) , 则随机变量函数 g( X ,Y )的数学期望为
Eg(X ,Y )
g(x , y) f (x , y)dxdy.
注：假定上面的级数与反常积分都是绝对收敛的.
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量的函数 Y g( X ) 的数学期望定义为
E(Y
)
Eg
(
X
)
g
(x)
f
( x)dx.
注：假定这个反常积分是绝对收敛的.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
[例2] 设随机变量 X在区间 0 , 上服从均匀分布，
求随机变量函数Y sin X的数学期望.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
[例3] 设二维随机变量( X ,Y )的联合概率密度为：
f
(x
,
y)
π(
x2
8 y2
1)3
,
x 0,y 0;
0
,
其它.
求随机变量函数 Z X 2 Y 2 的数学期望.
解： E(Z) E(X 2 Y 2 )
0
(x2
0
y2)
ห้องสมุดไป่ตู้
π( x 2
8 y2
(2) 若 X的可能值为一个可数无穷集合时,公式的右
边为级数. 假定这个级数是绝对收敛的.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
[例1] 设随机变量X 的概率分布为
X 2 1 0 1 2 3 p(xi ) 0.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.10 求随机变量函数 Y X 2的数学期望.
第三章 随机变量的数字特征
§3.2 随机变量函数的数学期望
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§3.2 随机变量函数的数学期望
1.一维随机变量函数的数学期望
（1） 设离散随机变量X 的X 概率分布为
X
x1
x2
xn
p(xi ) p(x1) p(x2 ) p(xn )
则随机变量 Y g( X ) 的可能值与取得这些值的概率
解：直接按公式计算
E(Y ) (2)2 0.10 (1)2 0.20 02 0.25 12 0.20 22 0.15 32 0.10
2.30.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
另解：先求随机变量 Y X 2的概率分布
Y X2 0
1)3
dxdy
8 π
0
0
x2 (x2
y2 y2
1)3dxdy
8
π
2 d
0
0
(r
r2 2
1)3
rdr
8π1 π24
1.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
小结
一维情形
若 X 为一维离散随机变量，且 Y g( X ) ,则
结束
§3.2 随机变量函数的数学期望
2.二维随机变量函数的数学期望
（1） 设二维离散随机变量( X ,Y )的联合概率函数为 p(xi , y j ) , i 1 ,2 j 1 ,2
则随机变量函数 g( X ,Y ) 的数学期望为
Eg( X ,Y ) g(xi , y j ) p(xi , y j ).