一 离散型随机变量的数学期望
有甲，乙两射手，他们的射击技术如表所示， 试问哪一个射手本领较好？
射手名称
甲
乙
击中环数 概率
8 9 10 8 9 10 0.3 0.1 0.6 0.2 0.5 0.3
解 甲射击平均击中环数为
8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3 乙射击平均击中环数为
8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1
法二
E(Y ) (2)2 0.10 (1)2 0.10 02 0.25 12 0.20 22 0.15 32 0.10 2.30
例8 设X ~ N(0,1),求E(X 2)
解：依题意, X的概率密度为
p(
x)
b
1
a
,
0,
于是有
a xb 其它
b
E(X )
x
dx a b
a ba
2
例5 设X服从参数为( 0)的指数的分布,求E(X )
解：依题意, X的概率密度为
ex ,
p(x) 0,
于是有
x0 x0
E(X )
xp(x)dx
xexdx
0
xex exdx 00
则随机变量X的数学期望E(X)=np.
证明 E( X ) n k P{X k} n kCnk pk qnk
k 0
k 1
n
k n! pk qnk
k1 k!(n k)!
n
np(n 1)!
p q k 1 (n1)(k 1)
k1 (k 1)![(n 1) (k 1)]!
n1
np
(n 1)!
k1 (k 1)!
二 连续随机变量的数学期望
定义2 设连续随机变量X的密度函
数为p(x),
若积分
xp(x)dx
绝对收敛，
则称该积分为X 的数学期望，记为
E( X ) xp(x)dx
注:若
| x | p(x)dx
则称连续型随机变量X的数学期望不存在.
常见连续型随机变量的期望
例4
设随机变量X在区间(a,b)内服从均匀分布,求E(X )
四 一维随机变量函数的数学期望
定理1 设离散型随机变量X的分布律为
P(X xk ) pk , k 1,2,,
f (x)是实值连续函数,且级数 f (xk ) pk绝对收敛, k 1
则随机变量函数f (X )的数学期望为
E[ f ( X )] f (xk ) pk k 1
定理2 设连续型随机变量X的概率密度为p(x), f (x)
p q k 1 (n1)(k 1)
k10 (k 1)![(n 1) (k 1)]!
np( p q)n1 np
例3 设X ~ P()，求E(X )
解： X的分布律为
P(X k) k e
k!
X的数学期望为
k 0,1,2, , 0
E(X )
k e
k
e
k 1
e e
k0 k!
例15
设一台机器上有3个部件，在某一时刻需要对部件 进行调整，3个部件需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3. 且Ｘ为需要调整的部件数，求ＥX.
解：不求分布律，运用性质4计算。设
1, 第i个部件需要调整， Xi 0， 第i个部件不需要调整，i 1,2,3
则X X1 X2 X3
故EX EX1 EX 2 EX3 1 0.11 0.2 1 0.3 0.6
注意点
➢ 数学期望简称为期望. ➢ 数学期望又称为均值. ➢ 数学期望是一种加权平均.
常见离散型随机变量的期望 例1 X ~ b(1, p),求E(X )
解：因X有分布律
X的数学期望为
E(X ) 0 (1 p) 1 p p
例2设随机变量X服从二项分布,即
P{X
k}
C
k n
pk qnk
k 0,1,2,..., n
1 exdx 1
0
例6 设连续型随机变量X~N(μ,σ) ,则 E(X)=μ.
证明
E(X ) 1
xe dx
1 2
2
(
x
)2
2
x t
2
1
(t
)e
t 2
2
dt
2
2
2
1
te
t 2
2
dt
e
t 2
2
dt
2
2
2
e
t 2
2
dt
2
柯西分布数学期望不存在
设随机变量X服从Cauchy分布, 概率密度为
3.设C为常数,则E(X C) E(X ) C
4.设X,Y是两个随机变量,若E(X),E(Y)存在,则对 任意的实数a、b, E(aX+bY)存在,且有 E(aX+bY)=a E(X)+ b E(Y) 此性质可推广到有限个随机变量的线性组合的 情况.
5.设X,Y是互相独立的随机变量,则有
E(XY)=E(X)E(Y) 此性质可推广到有限个互相独立的随 机变量之积的情况.
p(x)
1 (x2
1)
,
x
求E(X )
解： | x | p(x)dx
|
x
|
1
1 1 x2
dx
2
x 0 1 x2 dx
1
0
1 1 x2
d
(1
x2
)
1
ln(1
x2
)
|0
所以E(X)不存在.但
xp(x)dx
1
1
x x
2
dx
0
三 数学期望的性质
1.设C是常数,则有E(C) C
2.设X是一个随机变量,C是常数,则有E(CX ) CE(X )
所以甲的射击技术较乙的好.
4.1.1 数学期望的定义
定义4.1.1 设离散随机变量X的分布列为
P(X=xk) = pk, k = 1, 2, ...
若级数 xk pk绝对收敛，则称该级数为X 的
k 1
数学期望，记为 EX xk pk
k 1
注：若 | xk | pk k
则称随机变量X的数学期望不存在.
是实值连续函数,且广义积分
f (x) p(x)dx 绝对收敛
则随机变量函数f (X )的数学期望为
E[ f (X )] f (x)p(x)dx
例7设随机变量X的分布律为
求随机变量函数Y X 2的数学期望
解：法一 先求Y的分布律为
E(Y ) 0 0.25 1 0.40 4 0.25 9 0.10 2.30
（优选）随机变量的数学期望
第一节 数学期望
• 随机变量的分布列或概率密度,全面地描述了 随机变量的统计规律.但这样的全面描述并不使 人感到方便.
• 一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要 比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要比较 这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就可以 了.平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量 高.如果不去比较它们的平均值,而只看它们的分 布列,虽然全面,却使人难以迅速地作出判断.