1.牛顿法是不动点迭代的一个特例 （）
2.不动点迭代法总是线性收敛的 （）
3.牛顿法有可能不收敛 （）
4.二分法与牛顿法一样都可以推广到多维方程组求解 （）
5.非线性方程（或方程组）的解通常不唯一 （）
三．解答题
1.设Q(x)=x-p(x)f(x)-q(x)f2(x),试确定函数p(x)和q(x),使求解f(x)=0且以Q(x)为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。
答案
一．填空题
1.- < <0
2.Xk+1= k=0,1,2…
3.6
二．ห้องสมุดไป่ตู้断题
TF T F T
三．解答题
1.p(x)= ,q(x)=
2.解: 显然,迭代函数为 ,且 ,即 是 的不动点.
又 ,所以 ,
由定理7.4知，迭代是二阶收敛的，且 ．
3. 解 对于 ,因此牛顿迭代法为
根据定理7.4知
对于 ,牛顿法公式为
X=- (Q(x)-3x)=g(x)
|g‘(x)|=| - (Q‘(x)-3x)|= |(Q‘(x)-3x)|< <1
故|g‘(x*)|<1,迭代公式
xk+1=g(xk)= - (Q‘(xk)-3xk)局部收敛
根据定理7.4知
4. 证法一 用数列的办法,因 由 知 ,且 .又由
故 ,即 单减有下界 .根据单调原理知, 有极限.易证起极限为 .
证法二 设 .易知 在 内有惟一实根 .对 应用牛顿迭代法,得
利用例7-9的结论知,当 时, 单减有下界 ,且 .当 时,
此时,从 起, 单减有下界 ,且极限为 .
5.解：由x=Q(x)得 x-3x=Q(x)-3x
数学分析第七章试题
出题人 徐嘉瞳
一．填空题
1.设 2-5),要使迭代过程xk+1= k)局部收敛到x*= ,则 的取值范围________
2.应用牛顿法于方程x3-a=0,导出求立方根 的迭代公式_______
3.用二分法求方程x3-x2-1=0的正根，要进行___次迭代(区间[1,1.5])
二．判断题
2.给定初值 以及迭代公式 ,常数 证明: 该迭代函数是二阶收敛的
3应用牛顿法于方程 和 ,分别导出求 的迭代公式,并求
4.研究求 的牛顿公式xk+1= (xk+ ),x0>0,证明对一切k=1,2,…xk 且序列x1,x2,…是递减的
5.已知方程x=Q(x)在[a,b]内有根x*,且在[a,b]上满足|Q‘(x)-3|<1,利用Q(x)构造一个迭代函数g(x)，使xk+1=g(xk) (k=0,1,2…) 局部收敛于x*