2012 年成人高等学校专升本招生全国统一考试
高等数学（二）
一、选择题：每小题10 分，共40 分。
在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
（）
1. l im
x 3
A. 1
B.
C. 0
D. π
答案：B
cos1
解读：l im
x 3
2. 设函数y= , 则（）
A. B. C. 2x D.
答案：C
π
3. 设函数, 则f’ (
（）
A. B. C. 0 D. 1
答案：A
解读： f x sin x, f sin 1
2 2
4. 下列区间为函数的单调增区间的是（）
πππ
A. (0,
B. π
C. π
D. (0, π
答案：A
5. = （）
A. 3
B.
C.
D. +C
答案：C
1
可得
a a 1
解读：由基本积分公式x dx x C
a 1
6. （）
A. B. C. D. ln|1+x|+C
答案：D
1 1
解读：dx d 1 x ln1 x C
1 x 1 x
7. 设函数z=ln(x+y), 则（）
A. B. C. D. 1
答案：B
解读：,将x 1, y 1代入，
8. 曲线y= 与x 轴所围成的平面图形的面积为（）
A. B. C. π D. π
答案：C
解读：画图可知此图形是以坐标原点为圆心，半径为 2 且位于x 轴上方的半圆，也可用定积分的几何意义来做
9. 设函数, 则2
z
2
x
（）
A. B. C. D. 答案：D
解读：z
x
x
e ，
2
z
2
x
x
e
10. 设事件A,B 互不相容, P(A)=0.3, P(B)=0.2, 则P(A+B)= （）
A. B. C. D.
答案：B
解读：因为A，B 互不相容，所以P(AB)=0 ，P(A+B)= P(A)+ P(B)- P(AB)=0.5
二、填空题：每小题 4 分，共40 分.
11. l im
x 1
=.
答案： 2
解读：l im
x 1
12. =.
→
答案：2 3
解读：
sin 2x sin 2x 2x2x
和等价无穷小替换
lim lim
x 3 3x 0
x x 0
13. 设函数f(x)= 在x=0 处连续,则a=.
答案：1
2
解读：lim f x lim x 1 1, lim f x lim a x a, a 1
x 0 x 0 x 0 x 0
14. 曲线y= 的拐点坐标为.
答案：（0，0）
2 y x x
解读：y 3x 3, 6 0, 0 ，将x 0代入y ，y 0 ，所以拐点为0,0 15. 设函数, 则f’’(x)=.
答案：cos x
解读：f x sin x, f x cosx
16. 曲线y=sin(x+1) 在点(-1,0) 处的切线斜率为.
答案：1
解读：y cos x 1 ，k y cos0 1
x 1
17. .
答案：+C
4 / 8
18. =.
答案：sin1
1
1
解读：cosxdx sin x sin1 sin 0 sin1
∞
19. =.
答案：1
x x x 0 解读： e dx e d x e e e 1
0 0 0
20. 设函数z= , 则全微分dz=.
答案：3
解读：z 2
y
3x e ，
x
z 3
y
x e
y
z
，d z dx
x
z
y
dy
三、解答题：共70 分。
解答应写出推理、演算步骤。
21. 计算l im
x 0
答案：l im lim
x 0 x 0
=1
22. 计算.
答案：=
23. 计算.
5 / 8
24. 计算.
解读：= =xsinx- = xsinx+
25. 已知某篮球运动员每次投篮投中的概率是0.9, 记X 为他两次独立投篮投中的次数.
（1 ）求X 的概率分布
（2 ）求X 的数学期望EX
解读：（1）x 可能的取值是0,1,2
P(x=0)=0,1 ×0.1=0.01
P(x=1)=2 ×0.9×0.1=0.18
P(x=2)=0.9 ×0.9=0.81
因此x 的概率分布为
0 1 2
0.01 0.18 0.81
（2 ）数学期望EX=0 ×0.01+1 ×0.18+2 ×0.81=1.8
26. 求函数f(x)= 的单调区间和极值.
解读：f x =3 -3 ，令f x =0, 得驻点=-1, =1
6 / 8
x (- ∞-1 (-1,1) 1 (1,+ ∞
f ’(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值0 极小值-4
因此f(x) 的单调增区间是(-∞, (1,+ ∞。
单调减区间为(-1,1)
f(x) 极大值为f(-1)=0, 极小值为f(1)=-4
27. 已知函数f(x)= ：
（1 ）求曲线y=f(x) 与x 轴所围成的平面图形的面积S。
（2 ）求(1) 中平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V.
解读：（1）由得交点坐标为(0,0),(2,0)
S= = （+ ）
（2）V= π= π= π= π
28. 求二元函数f(x, y)= 的极值.（2012 年）
’’
解读：，令
得驻点（0，
1）′′
因为′′, ′′, ′′
所以′′, ′′, ′′
由于A>0 且<0, 故f(x,y) 在点（0，1）处取得极小值，极小值f(0, 1)= 1
7 / 8
8 / 8。