有限元法基础及应用上机报告南京理工大学2015年12月上机实验一1 实验题目设计一个采用减缩积分线性四边形等参元的有限元模型，通过数值试验来研究网格密度、位移约束条件与总刚度矩阵奇异性、沙漏扩展、求解精度的关系，并验证采用减缩积分时保证总刚度矩阵非奇异的必要条件。

总结出你的研究结论，撰写实验报告。

2 实验目的通过实验来研究减缩积分方案中网格密度和位移约束条件对总体刚度矩阵奇异性和求解精度的影响，以此加深对有限元减缩积分的理解，和对减缩积分中保证总体刚度矩阵非奇异性的认识。

3建模概述先保持位移约束条件不变，研究网格密度对总体刚度矩阵奇异性和求解精度的影响，并验证采用减缩积分时保证总刚度矩阵非奇异的必要条件。

如下图1所示，建立一个简支和链杆的约束条件，然后不断增加网格密度，通过ABAQUS 来计算位移和应力的变化规律。

简支（两个约束）链杆（一个约束）积分点（3个独立关系式）节点（两个自由度）4 计算结果分析讨论与结论 1）1*1单元四边形减缩积分实验载荷 布种/单元应力云图2）2*1单元四边形减缩积分实验载荷 单元应力云图3）4*4单元四边形减缩积分实验载荷布种单元应力云图结果分析5 实验体会与小结单元刚度矩阵的特征：(1)对称性(2)奇异性(3)主元恒正K相同(4)平面图形相似、弹性矩阵D、厚度t相同的单元，eK的分块子矩阵按结点号排列，每一子矩阵代表一个结点，占两行两(5)e列，其位置与结点位置对应。

整体刚度矩阵的特征：(1)对称性(2)奇异性(3)主元恒正(4)稀疏性(5)非零元素呈带状分布。

[K]的物理意义是任意给定结构的结点位移所得到的结构结点力总体上满足力和力矩的平衡。

为消除[K]的奇异性，需要引入边界条件，至少需给出能限制刚体位移的约束条件。

对于一个给定形式的单元，如果采用精确积分，则插值函数中所有项次在|J|=常数的条件下能被精确积分，并能保证刚度矩阵的非奇异性。

如果采用减缩积分，因为插值函数中只有完全多项式的项次能被精确积分，因此需要进行刚度矩阵非奇异必要条件的检查。

上机实验二1 实验题目图示一个简支梁平面应力模型。

梁截面为矩形，高度h=160mm ，长度L=1000mm ，厚度t=10mm 。

上边承受均布压力q =1N/mm 2，材料E=206GPa ，μ=0.29。

X 方向正应力弹性力学理论解为：)534()4(622223-+-=h y h y q y x L h q x σ分别应用3节点三角形单元、4节点线性等参元（完全积分、减缩积分、非协调模式）、8节点二次等参元完全积分进行下列数值实验：1）用较粗单元网格求解梁中部应力分量σx 的最大值和上下边法向应力分量，并对各单元计算精度进行比较分析；2）对粗网格下梁中部最大位移进行对比和分析；3）通过网格加密对比试验3节点三角形单元和8节点二次等参元的收敛速度。

总结出研究结论，撰写实验报告。

2 实验目的（1）通过ABAQUS 软件，用有限元法分析整个梁上的σ_x 的分布规律，讨论σ_y 的有限元解与材料力学解的区别；（2）用有限元法求梁顶边和底边中点正应力σx 的最大值；（3）比较3节点三角形单元、4节点线性等参元（完全积分、减缩积分、非协调模式）、8节点二次等参元完全积分求得的参数与理论解的接近程度； （4）逐步加密单元网格，把有限元法求得的σx 值与理论值进行对比，考察解的收敛性；（5）针对以上力学模型，对比分析3节点三角形平面单元和8节点四边形平面单元的求解精度和收敛性；（6）绘制σx 的误差——计算次数曲线，并进行分析说明。

3 建模概述（1）启用ABAQUS/CAE 程序；（2）创建部件（Module ：Part ），选择2D Planar ，Approximate size=2000，绘制长度为1000，高度为200的矩形；（3）创建材料和截面属性（Module：Property），弹性模量为E=210000 MPa，泊松比为0.3；（4）定义装配件（Module：Assembly），选择Independent；（5）设置分析步（Module：Step）；（6）定义边界条件和载荷（Module：Load），将左右两边界在中点分成两段，在梁的上侧面施加1Mpa的载荷，选取左边界中点设置U1=0和U2=0，选取右边界中点设置U2=0；（7）划分网格（Module：Mesh），全局尺寸设为50，采用3节点线性平面应力三角形单元CPS3划分网格；（8）提交分析作业（Module：Job）；（9）后处理（Module：Visualization）：①显示的应力云图；②查询底边中点的最大值，与理论最大应力值比较考察其精度；③绘制底边上各点的应力的曲线；（10）细化网格验证收敛性，重设单元尺寸为20和10，给出和的应力云图，考察收敛于理论解的程度；（11）高阶单元分析，将单元类型改为CPS8，单元尺寸分别取为100、50、20：①绘制和的云图；②查询底边中点的最大值，对比（10）和（11）中的结果，体会高精度有限元网格的精度和收敛性；③查询模型中从上至下的值。

4 计算结果分析讨论与结论（1）尺寸大小为50的3节点三角形单元计算云图如下：1）x方向应力云图梁中部x方向应力分量最大值为：19.57512）y 方向应力云图上边界xσ方向应力分布曲线：上边界法向最大应力：-1.54372下边界xσ方向应力分布曲线：下边界法向最大应力：0.5437243）y方向位移云图梁中部y方向最大位移：-0.157743（2）尺寸大小为50的四节点完全积分计算云图如下：1）x方向应力云图梁中部x方向应力分量最大值为：28.6935 2）y方向应力云图上边界x σ方向应力分布曲线：上边界法向最大应力：-3.1434下边界xσ方向应力分布曲线：下边界法向最大应力：2.14343）位移云图梁中部y 方向最大位移：-0.188218（3）尺寸大小为50的四节点减缩积分1）x 方向应力云图梁中部x 方向应力分量最大值为：23.33512）y 方向应力云图上边界x方向应力分布曲线：上边界法向最大应力：-1.04348下边界x 方向应力分布曲线：下边界法向最大应力：0.04348213）位移云图梁中部y 方向最大位移：-0.240197（4）尺寸大小为50的四节点非协调模式积分1）x 方向应力云图梁中部x 方向应力分量最大值为：29.27662）y 方向应力云图上边界xσ方向应力分布曲线：上边界法向最大应力：-0.900612下边界xσ方向应力分布曲线：下边界法向最大应力：-0.09938853）位移云图梁中部y方向最大位移：-0.196154（5）尺寸大小为50的八节点二次等参元完全积分1）x方向应力云图梁中部x方向应力分量最大值为：29.5572 2）y方向应力云图上边界x σ方向应力分布曲线：上边界法向最大应力：-1.04859下边界xσ方向应力分布曲线：下边界法向最大应力：0.04859323）位移云图梁中部y 方向最大位移：-0.198043（6）尺寸大小为20的3节点三角形单元1）x 方向应力云图梁中部x 方向应力分量最大值为：25.68172）y 方向应力云图上边界x方向应力分布曲线：上边界法向最大应力：-1.35765下边界x 方向应力分布曲线：下边界法向最大应力：0.3576523）位移云图梁中部y 方向最大位移：-0.187793（7）尺寸大小为10的3节点三角形单元1）x 方向应力云图梁中部x 方向应力分量最大值为：27.90662）y 方向应力云图上边界xσ方向应力分布曲线：上边界法向最大应力：-1.19271下边界xσ方向应力分布曲线：下边界法向最大应力：0.1927053）位移云图梁中部y方向最大位移：-0.195956（8）尺寸大小为20的8节点二次等参元1）x方向应力云图梁中部x方向应力分量最大值为：29.5085 2）y方向应力云图上边界x σ方向应力分布曲线：上边界法向最大应力：-1.01358下边界xσ方向应力分布曲线：下边界法向最大应力：0.01358293）位移云图梁中部y 方向最大位移：-0.199315（9）尺寸大小为10的8节点四边形等参单元1）x 方向应力云图梁中部x 方向应力分量最大值为：27.59812）y 方向应力云图上边界x方向应力分布曲线：上边界法向最大应力：-1.00365下边界x 方向应力分布曲线：下边界法向最大应力：0.003645013）位移云图梁中部y 方向最大位移：-0.200394单元尺寸为50的不同类型单元有限元分析结果：相同类型单元不同网格密度下的有限元分析对比：在同等网格密度下计算水平方向应力分量时，二次单元的计算精度要优于线性单元。

在单元阶数相同的情况下，三角形单元计算精度次于四节点单元。

此外，减缩积分的线性四节点单元因为存在沙漏模式，其应力的计算精度要比同为线性四节点单元的完全积分单元和非协调模式的单元低。

在同等网格密度下计算法向应力分量时，减缩积分的线性四节点单元的计算精度最高，其次依次是八节点二次单元、非协调模式的线性四节点单元、三角形单元、完全积分的线性四节点单元。

用八节点二次单元和线性四节点非协调单元计算应力是比较合适的方案。

在同等网格密度下计算位移，八节点二次单元的精度最高，非协调模式的线性四节点单元的精度次之，这两种单元的误差都在5%以内，而其他单元的计算精度都偏大。

5 实验体会与小结通过本次实验，我基本掌握了使用ABAQUS软件建模求解平面应力问题，学会了查询应力以及位移分布情况的方法。

了解了单元尺寸变化和单元类型不同对结果精度的影响。

单元尺寸越小，精度越高，收敛性越好。

高精度单元收敛速度快，运算精度高。

但要根据实际情况选择合理的单元，提高计算效率。

上机实验三1 实验题目一个矩形平板，长1000mm,宽100mm ，厚度5mm 。

材料的E=200GPa ，0.3=μ， 3-6/107.82mm Kg ⨯=ρ。

板的一对短边简支。

进行下列计算分析并撰写实验报告。

1）在相同的粗网格（厚度方向1层单元）下，分别用8节点线性六面体全积分等参元、8节点六面体非协调元、20节点二次六面体等参元计算其前六阶自由振动频率（Hz ），对计算结果用表格作汇总对比和分析（不要附图）。

2）采用适当网格密度的8节点六面体非协调元，用隐式直接积分法对该平板进行瞬态响应研究。

板的上表面受对称三角形脉冲均布压力，最大值0.05MPa 。

要求：（1）通过计算获得平板下表面中心位置沿长边方向的正应力分量响应最大值随载荷脉宽（0.2毫秒、1.0毫秒、6毫秒、100毫秒、1秒、静载）变化的曲线；（2）板的厚度改50mm ，研究上述规律的变化，并进行归纳和对比分析讨论。