线性代数一些证明题1题目设n阶可逆矩阵A满足A2 = A，求A的特征值。

知识点特征值与特征向量矩阵的行列式解题过程解：因为A2=A所以A 2－A=0所以det(A2－A)=det[ A (A －E)]=det( A )det( A－E)=0 A为可逆矩阵，所以det(A)工0所以det( A－E)=0所以A 的特征值为1.常见错误设存在入，使Ax = Ax成立则det( Ax )=det( A)det( x)=det( x)= n det( x) (错误在于向量取行列式)所以有n det(A)成立.又因为A2=Adet( A)2 =det(A), 即det( A)=0 或det( A)=1.由于A 为可逆矩阵，det(A).工0所以det( A)=1当n为奇数时，入.=1当n为偶数时，入=1.相关例题设A为n阶矩阵若A2=E，试证A的特征值是1或-1.2 题目设A 是奇数阶正交矩阵，且det( A)=1 ，证明det( E-A)=0. 知识点①正交矩阵的定义： A T A=E②单位矩阵的性质：EA=AE=A E T=E③矩阵运算规律④转置矩阵的性质：(A+B )T=A T+B T⑤det( A)=det( A T)⑥ det( AB )=det( A)det( B)⑦det( -A)=(-1)n det( A)解题过程••A是正交矩阵•£ —A= A T A - A= A T A - EA= ( A T- E)Avdet( A)=1「det(E—A)二det(( A T—E)A)二det( A T—E)det( A)=det( A T —E)Tdet(E—A)=det( E—A)T=det( E—A T)••det(A T—E)= det( E—A T)= det( —(A T—E))= (—1)n det( A T —E)vn为奇数• (—1)n= —1•det(A T—E)=0•det( E—A)=0常见错误①误以为det( E—A)= det( E) —det( A)，于是det( E—A)=1 —det( A)=1 —1=0②vdet( A)=1「.a i a2 •-a n = 1(其中a「a2,…,为A作初等变换变为上三角形后对角线上的元素).•••det( E —A)= (1-a i) (1-a2)-(1-a n).v det(E-A)=det(( A T-E)A)=det( A T-E)det(A)=det( A T-E)且det( A T-E)= ( a i-1 ) ( a2-1 )•••( a n-1 ).••(1- a i ) ( 1- a2 )•••( 1- a n ) = ( a i -1 ) ( a2-1 )•••( a n-1 ) =(-1) 0( 1- a1 ) ( 1- a2 )^( 1- a n )v n 为奇数•(—1)n= —1X iX2 X3 12x 1 (a 2) x 2 (b 2)X 3 3 (1(1 — a i ) (1 — a ?)…(〔—a n ) =0以上证法先把A 变为上三角，再用E 减去变化后的A ，再求行 列式，这是错误的。

相关例题证明：若A 为正交矩阵，则det( A)= ±1.题目试就a,b 的各种取值情况，讨论下列线性方程组的解，若有解，则求 出解。

3ax 2 (a 2b)x 3 3知识点线性方程组解的结构解题过程1 解：B= 21 1a 2b 23 a 2b2A1 1 1 10 a b 10 3a a 2b 3X 30, X 2 1 ,X 1 a 其解可由 ax 2 bx 3 此时增广矩阵可化为:可见，rank(B)=2,但增广矩阵的秩为 3，所以方程组(1)无解,1111(1)当a — b 0,且a 0时，rank(B)=3，增广矩阵的秩也等于 3，而且等于未知数的个数，故方程组(1 )有唯一解。

其解为:⑵当a-b=0，且a 0时，rank(B)=2,增广矩阵的秩也等于2,秩小于未知数的个数，此时故方程组(1)有无穷多解1，解得X 2 1 bX 3,，代入第一个方程 a aX 1 X 2X 3 1 得到 X 1 1 - 1 - X 3 ； a a(3 )当a=0，b 为任意数,11110 a b 10 a b 01 1 1 1 *00b 1 0 0 0 1X 1a 1 ab 彳1 X 3 Ia a a 1b 1X 2 X 3 -X 3 a a a X 3 X 3 (任意)般解为:常见错误在讨论带参数的线性方程时，尽管初等变换结果正确，也会产生讨论不全的错误。

如，当a b 时，就说原方程有唯一解，没有指出a 0，当a=b 时，就说原方程组有无穷多解，没有指出a=b 0，等等。

相关例题确定a,b 的值，使下列方程组x1 x2 x3 12x1 (a 2)x2 (b 2)x3 33ax2 (a 2b)x3 3 (1)有唯一解； (2)无解；有无穷多解，并求出通解。

4题目若1, 2, 3线性无关， 4 k1 1 k2 2 k3 3，其中k1,k2,k3 全不为0. 证明2, 3, 4 线性无关. 知识点向量线性相关解题过程证法一：(从定义出发)设存在常数k1 ,k2 ,k3 ，使得k1 2 k2 3 k3 4 0已知 4 k1 1 k2 2 k3 3 ，代入上式，得k1 2 k2 3 k3 (k1 1 k2 2 k3 3) 0化为：k1k3 1 (k1 k2k3 ) 2 (k2 k3k3 ) 3 0由题意知：1, 2, 3 线性无关k1k3 = 0k1 k2k3 =0 k2 k s k s = 0Q k i, k2, k3全不为 0解得k1 =k2=k3=0 由定义，知2, 3, 4线性无关证毕证法二：(由初等列变换，秩相等)( 2, ) 由 4 k1 1 k2 2 k3 3 ( k k k )3, 4) ( 2, 3,k1 1 k2 2 k3 3)c3 k2c2c3 k3c2( , ,k )2 3 1 1c3 /k1( , , )( 2, 3, 1)由于初等变换不改变矩阵的秩，所以由1, 2, 3线性无关，知( 2, 3, 1)的秩为3，所以( 2, 3, 4) 秩也为3，推出2, 3, 4线性无关证法三：(反证法)假设( 2, 3, 4)线性相关.k 2k 3,k 2 k 3k 3 不全为 0则存在不全为 0 的常数 k 1 ,k 2 ,k 3 ，使得 k 1 2 k 2 3 k 3 4 0已知 4 k 1 1 k 2 2 k 3 3，代入上式，得k1 2k2 3k3 (k 1 1k2 2k3 3) 0化为：k 1k 3 1 (k 1 k 2k 3 ) 2 (k 2 k 3k 3 ) 3 0Qk i , k 2, k 3全不为 0(否贝打 由 冰3 = k i k 2k 3 = k 2 k s k s =0 得 k 产 k ?二 k 3 = 0) 即1, 2, 3线性相关 , 与题目已知条件矛盾 .所以假设不成立 , 即 ( 2, 3, 4)线性无关 .题目设1, 2,L , n r 1是AX B 的解且线性无关，R(A) r ，试证AX B的任一解可表示为X k1 1 k2 2 L kn r 1 n r 1，其中 k 1 k 2 L k n r 1 1知识点 基础解系 方程组解的结构解题过程证明 Q1, 2 ,L , n r 1是 AX B 的解1n r 1, 2 n r 1,L , n rn r 1是 AX 0的解c 1 c n r 1由( ,,L , , )c22n r n r 1 Lcn r 1cn r cn r 1k1因为所以AX 其中( 1 n r 1, 2 n r 1,L , n r n r 1M n r 1)2,L , nnr1因为AXX k1 (r 1 线性无关，所以n r 1,L , nn r 1,L , nR( 1 nr1r 1,L , n r0 的任一解Xn r 1, n r 1 线性无关，nr 1也线性无关，且n r 1,L , n r n r 1 ) nr 1是AX 0 的基础解系可以表示为：1 n r 1) k2 ( 2 n r 1 ) L k n r (B的任一解X可以表示为:XX是AX B 的一个特解扩展①式，取nr 1，得X k1 ( 1 n r 1)k2 ( 2 n r 1) L k n r ( n r n r 1)化简得X k1 1 k2 2 k n r n r (1 k1 k2 L k n r )r1令k n r 1 1 k1 k2 k n r，k1 k1 ,k2 k2 ,L ,k n r k n r则AX B 的解可以表示为k1 Lkn r 1 n r 1且k1 k2 L k n r 1 k1 k2 L k n r (1 k1 k2 L k n r ) 1命题得证另外取i(1i n r) 时X k1 (1 n r 1) k2 ( 2 nr1) L k nr ( nr nr1) i化简得X k1 1 k2 2 L k i 1 i 1 (1 k i ) i k i 1 i 1 L k n r n r ( k1 k2 L k n r ) n r 1此时令k1 k1 ,k2 k2 ,L,k i1 k i 1 ,k i 1 k i ,k i 1 k i1,L ,k nr k n rk n r 1 k1 k2L k n r则AX B 的解可以表示为X k1 1 k2 2 L k n r 1 n r 1且k1 k2 L k n r 1k1 k2 L k i 1 (1 k i ) k i 1 L k n r ( k1 k2 L k n r ) 1 此时命题也成立常见错误不会应用定理. 不知两个非齐次组的解的差是齐次线性方程组的解.6题目设1、2是矩阵A的两个不同的特征值，X i、X2分别属于1、2的特征向量，证明X i X2不是矩阵A的特征向量.x 1 x 2 是 A 的对应的特征向量， 则有知识点特征值 特征向量解题过程用反证法.常见错误由(1)(2) 直接推出1 2，只从形式上来看有这个结论，没有利用不同特征值所对应的特征向量是线性无关的性质， 因为有了这 个性质才能推出 (3) 的系数为 0. 这在证明中不够严密 .已知 Ax 11x 1， Ax 2 2x 2所以 A(x 1 x 2) Ax 1 Ax 21x12 x2(2)由(1)(2) 知 x 1x21x12x2(1)x 1(2)x 2 0(3)因为 x 1、x 2 线性无关， 所以 120 ，(1)x2A(x 1 x 2)(x 1 x 2 ) x 11 2与已知矛盾 .。