5/8/2021
第四章
10
x1
t 2 , 0,
1 t 0 0t 1
注 仅对函数而言 线性相关时W(t)≡0的
逆定理一般不成立。
例 函数
和
x1
t 2 , 0,
x2
0,
t
2
,
1 t 0 0t 1
1 t 0 0t 1
在区间-1≤t≤1上有W[x1(t),x2(t)]≡0 ,但却线性无 关。
证 5/8/2021 用反证法证。
第四章
12
(续)定理4 齐次线性微分方程的线性 无关解的伏朗斯基行列式恒不为零
dn x dtn
a1(t)
dn1 x d t n1
an1 (t )
d d
x t
an
(t ) x
0
证 用反证法证。设有t0 (a≤t0≤b) 使得W(t0)=0，则t = t0时 的 (6)、(7)组成的n个齐次线性代数方程组有非零解 c1 ,c2 ,…,cn。 根椐叠加原理，函数 x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ cnxn(t) 是方程(2)的解，
第四章
13
定理5 齐次线性方程(2)的基本 解组必存在且其伏朗斯基行列式 恒不为零。
证 根据定理1，线性 方程(2)的满足初值 条件:
的解x1(t),x2(t),…,xn(t)必 存在，且有
x1
(t0
)
1,
x1'
(t0
)
0,
x2
(t0
)
0,
x2'
(t0
)
1,
xn
(t0
)
0,
xn'
(t0
)
dn dt
x
n
a1 (t )
dn1 x d t n1
an1(t
)
d d
x t
an (t)x
f
(t)
当f (t)=0时称为n阶齐次线性微分方程(齐线性方程)
dn x dtn
a1(t)
dn1 x d t n1
an1 (t )
dx dt
an
(t ) x
0
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第四章
3
基本概念 伏朗斯基行列式
0,
, x1(n1) (t0 ) 0 , x2(n1) (t0 ) 0
, xn(n1) (t0 ) 1
W[x1(t0 ), x2 (t0 ), , xn (t0 )] 0
由定理3，这n个解线性无关，因此组成基本解组。 而由定理4，其伏朗斯基行列式恒不为零。 定理得证。
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第四章
(t0 )
x0 ,
d(t0 )
dt
x0(1) ,
,
dn1 (t0 )
d t n1
x0(n1)
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第四章
7
定理2 叠加原理
dn dt
x
n
a1(t)
dn1 x d t n1
an1
(t
)
d d
x t
an
(t)
x
0
根据“常数可从微分号下提出来” 及“和的导数等于导数之和”法则
易证
定理2(叠加原理) 对方程(2)的k个解 x1(t),x2(t),…,xk(t)的线性组合 c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ ckxk(t)
例 函数cos(t)和sin(t)在任何区间上均线性无关； 而函数cos2(t)和sin2(t)-1在任何区间上均线性相关。 函数1,t,t2,…,tn在任何区间上均线性无关，因恒等式
c1x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t) 0
当且仅当所有ci=0(i=0,1,…,n)时才成立。
dn1 x d t n1
an1
(t
)
d d
x t
an
(t
)
x
0
定理1(存在唯一性) 设ai(t)(i=1,…,n)区间a≤t≤b 上 连 续 ， 则 对 任 t0 [a,b] 及 任 意 初 值 x0,x0(1),…,x0(n-1)，方程(2) 存在唯一解x= (t)定 义于区间a≤t≤b上，且满足初始条件
c1x1'
(t0
)
c2
x2'
(t0
)
cn xn' (t0 ) x0'
(13)
c1x1(n1) (t0 ) c2 x2(n1) (t0 ) cn xn(n1) (t0 ) x0(n1)
其系数行列式为W(t0)，由定理4知W(t0)≠0。
根据线性代数方程组理论，方程组(13)存在唯一解
第四章 高阶微分方程
§4.1 线性微分方程的一般理论 §4.2 常系数线性方程的解法 §4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法
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第四章
1
§4.1 线性微分方程的一般理论
基本概念
齐次线性方程基本性质
非齐次线性方程基本性质
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第四章
2
基本概念 n阶线性微分方程
n阶非齐次线性微分方程(非齐线性方程)
它满足初始条件x(t0) = x’(t0) = … = x(n-1)(t0)=0。 但x=0也是满足同样初始条件的方程的解，
由解的唯一性，得x(t)≡0 (a ≤ t ≤ b) ，
因c1 ,c2 ,…,cn不全为零， 这与x1(t),x2(t),…,xn(t)线性无关假设矛盾。定理得证。
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也是齐次线性方程的解。
其中c1 ,c2 ,…,ck 为任意常数。
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第四章
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定理3 伏朗斯基行列式
定理3 若函数 x1(t),x2(t),…,xn(t) 在区间a≤t≤b上线 性相关，则在区间a≤t≤b上它们的伏朗斯基行列 式W(t)≡0。
证
函知数 存在x1(不t),x全2(为t),…零,的xn(常t)在数区ci间(i=a1≤,t…≤b,上n)，线使性得相恒关成时 立
x(t0) x0, x '(t0) x0' , , x(n1) (t0) x0(n1) (12)
能确定(11)中的常数c1 ,c2 ,…,cn ，使(11)满足(12)。 当(11)满足(12)时，可得到关于c1 ,c2 ,…,cn的线性代数方程组
c1x1(t0 ) c2x2 (t0 ) cn xn (t0 ) x0
x(n1) c1
x(n1) c2
x(n1) cn
因此，(11第四章
16
(续)定理6(通解结构) x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ cnxn(t) (11)
现证明它包括了方程(2)的所有解。由定理1知，方程的解 唯一地决定于初值条件，只需证明：任给一初值条件
14
定理6 通解结构
dn dt
x
n
a1 (t )
dn1 x d t n1
an1 (t )
dx dt
an
(t ) x
0
（2）
定理6 (通解结构) 设x1(t),x2(t),…,xn(t)是齐次线性 方程(2)的一个基本解组。
则齐次线性方程(2)的通解可表为
x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ cnxn(t) 其中c1 ,c2 ,…,cn 为任意常数。 通解包括了齐次线性方程(2)的所有解。
n阶线性微分方程的所有解构成一个n维线性空间。
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第四章
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非齐次线性方程基本性质
dn x dtn
a1 (t )
dn1 x d t n1
an1
(t
)
d d
x t
an (t)x
f
(t)
定理(存在唯一性) 设ai(t)(i=1,…,n)区间a≤t≤b上连 续，
则对任t0 [a,b]及任意初值x0,x0(1),…,x0(n-1)， 方程存在唯一解x= (t)定义于区间a≤t≤b上， 且满足初始条件
的一个基本解组。x(t)是方程(1)的某一解(特解)。 则非齐次线性方程(1)的通解可表为
x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ cnxn(t) +x(t) (14) 其中c1 ,c2 ,…,cn为任意常数。 反之，对方程(1)的所有解x(t)，必存在常数c1 ,c2 ,…,cn
表为上述形式(14)。
(t
)
c2
x2(n1)
(t
)
cn xn(n1) (t) 0
上n式可看成关于c1 ,c2 ,…,cn的齐次线性代数方程组 它的系数行列式就是伏朗斯基行列式W[x1(t),x2(t),…,xn(t)] 由线性代数理论知道，要线性代数方程组存在非零解，
则它的系数行列式必须为零，即W(t)≡0 (a≤t≤b)。
设 函数 xi(t)(i=1,…,k)在区间a≤x≤b可微 k-1次
伏朗斯基行列式
x1(t) W (t) W[x1(t), x2 (t), , xk (t)] x1' (t)
x2 (t) x2' (t)
x1(k1) (t) x2(k1) (t)
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第四章
xk (t) xk' (t)
(t0
)
x0
,
d (t0
dt
)
x0(1)
,
,
d n1(t0 )
dt n1
x0(n1)
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第四章
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非齐次线性方程基本性质
dnx dt n
a1
(t
)