第四节、压电式传感器例题例5、一只压电式加速度计，供它专用的电缆的长度为1.2m，电缆电容为100pF，压电片本身的电容为100pF。

出厂时标定的电压灵敏度为100V/g(g=9.8m/s2度为重力加速度)，若使用中改用另一根长2.9m例5题图、压电加速度计等效电路解：将压电式加速度计用电压源来等效，不考虑其泄漏电阻，等效电路如图1.83所示。

输出电压为：U0=UaCa/(Ca+Cc)式中:Ca为压电片本身的电容，Cc为电缆电容。

当电缆电容变为Cc’时，输出电压将变为:U0′=UaCa/(Ca+Cc′)在线性范围内，压电式加速度计的灵敏度与输出电压成正比，所以更换电缆后灵敏度变为: K′=SU0′/U0=S(Ca+Cc)/(Ca+Cc′)=100(1000+100)/(1000+300)=84.6V/g例6、一只x切型的石英晶体压电元件，其d l1=dxx＝2.31×10－12C/N，相对介电常数εr=4.5，横截面积A=5cm2，厚度h=0.5cm。

求：(1)、纵向受Fx=9.8N的压力作用时压电片两电极间输出电压值为多大?(2)、若此元件与高输入阻抗运放连接时连接电缆的电容为Cc=4pF，该压电元件的输出电压值为多大?解：(1)、所谓纵向受力，是指作用力沿石英晶体的电轴方向(即X轴方向)。

对于x切型的石英晶体压电元件，纵向受力时，在x方向产生的电荷量为：qx=d l1×Fx=2.31×10－12 C/N×9.8N =22.6×10－12C=22.6pC压电元件的电容量为：Ca=εoεrA/h=8.85×10－12 F/m×4.5×5×10－4 m2/0.5×10－2 m=3.98×10－12F=3.98pF所以两电极间的输出电压值为：U0=q x/Ca=22.6×10－12 C/3.98×10－12F=5.68V(2)、此元件与高输入阻抗运放连接时，连接电缆的电容与压电元件本身的电容相并联；输出电压将改变为：U0'=q x/（Ca+Cc）=22.6×10－12C/（3.98×10－12F+4×10－12F）=2.83V例7、压电式传感器的测量电路如图1.84所示，其中压电片固有电容Ca=1000pF，固有电阻Ra=1014Ω。

连线电缆电容Cc=300pF，反馈电容Cf=100pF，反馈电阻Rf=1MΩ。

(1)、推导输出电压U。

的表达式。

(2)、当运放开环放大倍数A0=l04时，求：系统的测量误差为多大?(3)、该测量系统的下限截止频率为多大?图1. 85(a)压电式传感器测量电路的电流源等效电路解：(1)、根据密勒定理，将Rf 和Cf 折合到运放输入端，其等效电阻R'f=Rf(1+A0)， 等效电容C'f ＝(1+A0)Cf 。

如图1.85(a)所示。

为了方便，压电元件采用电压源的形式，再等效成图1.85(b)所示的电路形式，图中Z 表示虚线框内元件的等效阻抗。

假设运放反相端的电压为Ui ，可得： 1/Z=1/Ra+1/Rf+1/Zc c +1/Zc f =1/Ra+1/Rf+ j ωCc+ j ωC fR'f=(1+A 0) Rf; C'f ＝(1+A 0)CfUi=UaZ/(Z+1/j ωCa)=(q/Ca)×[j ωCa/(j ωCa+1/Z )]＝j ω×q/(j ωCa+j ωCc+ j ωC f +1/Ra+1/R f’)＝j ω×q/{j ω[Ca+Cc+(1+A0)C f ]+1/Ra+(1+A0}/R f }图1. 85(b)压电式传感器测量电路的电压源等效电路因此测量电路的输出为： U 0=-A 0Ui=-j ωqA 0/{j ω[Ca+Cc+(1+A 0)Cf]+1/Ra+(1+A 0)/Rf}一般来说，运放的开环放大倍数A0在以104～108之间，根据所给条件，分母上的第三项为第二项的1012～1016倍，所以忽略分母上的第二项不会导致测量误差，得:U 0=-A 0Ui=-j ωqA 0/{j ω[Ca+Cc+(1+A 0)C f ]+(1+A 0)/R f }当满足ω[Ca+Ce+(l+A0)Cf]>>(l+A0)Rf，即被测信号的频率远远大于系统的下限截止频率时，分母上的(l+A0)Rf也可以忽略，得：U0=-A0Ui=-qA0/[Ca+Cc+(1+A0)C f]此时测量电路的输出与被测信号的频率无关。

若还能满足(l+A0)Cf>>Ca+Ce,则可进一步忽略分母上的Ca、Ce得：U0=-qA0/(1+A0)C f当A0→∞时，上式可写成：U0’=-q/C f(2)、由于A0实际上不为无穷大，忽略Ca、Ce可能导致测量误差，误差的大小为：δ=∣(U0- U0’)/U0’)∣=∣{-qA0/[Ca+Cc+(1+A0)C f]+q/C f}/(-q/C f)∣=(Ca+Cc+C f)/[Ca+Cc+(l+A0)C f]=(1000+300+100)/[1000+300+1+104)100]=0.14﹪(3)、根据上面讨论，下限截止角频率为：ωL=（1+A0）/[Ca+Cc+(l+A0)C f]R f由于一般满足(l+A0)Cf>>Ca+Ce，所以下限截止角频率则为：ωL=1/C f R f下限截止角频率则为：f=ωL/2π=1/2πC f R f=1/（2π×100×10-12×1×106）1.59×103Hz=1.59KHz例8、有一只压电晶体，其面积S=3cm2，厚度t = 0.3mm，在0度x切型的纵向石英晶体压电系数d11=2.31×10-12 C/N。

求压电晶体受到p = 10 MPa的压力作用时产生的电荷量q及输出电压U0。

解：受力F = pS作用后，压电晶体产生的电荷量为：q=d11F=d11pS=2.31×10-12 C/N×10×106Pa×3×10-4m2=6.93×10-9C 压电晶体的电容量为：Ca=ε0εr S/t根据有关文献可知，石英压电晶体的相对介电常数εr = 4.5，所以Ca=ε0εrS/t=(8.85×10-12 F/m×4.5×3×10-4 m2)/0.3×10-3 m=39.8×l0-12F于是输出电压为：U0 =q/Ca=（6.93×10-12 C)/（39.8×10-12 F）=174 V例9、某压电式压力传感器为两片石英晶片并联，每片厚度t=0.2mm，圆片半径，r=1cm，相对介电常数εr=4.5，x切型的d11=2.31×10-12C/N。

当p=0.1MPa的压力垂直作用于晶片之上时，求传感器输出电荷量q和电极间电压Ua的值。

解：当两片石英晶片并联时，输出电荷量为单片的2倍，所以q=2d11pπr2=2×2.31×10-12 C/N×0.1×106Pa×π×12×10-4m2=145×10-12C=145pC并联后的总电容量也为单片的2倍，所以:Ca=ε0εrπr2/t=(2×8.85×10-12F/m×4.5×π×12×10-4 m2)/(0.2×10-3 m)=125×10-12F=125pF故电极间的电压为：U0=q/Ca=(145×10-12)/(125×10-12)=1.16V真空的绝对介电常数ε0=8.85×10-12（F/m）法拉第/米。

例12、电荷前置放大器电路如图1.86所示。

已知Ca=100pF，Ra= ∞，C F=10pF。

若考虑引线电容Cc的影响，当运放开环放大倍数A0=104时，要求输出信号衰减小于1%，求采用标称电容量为90pF/m图1. 86电荷前置放大器解：当被测信号的频率远远大于系统的下限截止频率时，电荷前置放大器的输出为：U0=Usc=－qA0/[Ca +Cc+(l+ A0)C F]当A0→∞时，上式可进一步写成：U sc’=－q/C F由于运放的开环放大倍数A0不为无穷大，作如上近似将导致误差，误差的大小为：δ=∣(Usc- U sc’)/U sc’∣=∣{－qA0/[Ca + Cc + (l + A0)C F]+q/C F}/(－q C F)∣=∣A0 C F/[Ca + Cc + (l + A0)C F]－1∣=∣-(Ca + Cc + C F)/[Ca + Cc + (1 + A0)C F]∣=(Ca + Cc + C F)/[Ca + Cc + (1 + A0)C F]令：δ=(Ca + Cc + C F)/ [Ca + Cc + (1 + A0) C F]=1﹪解得：Cc=A0C F/99－C F－Ca =（104×10/99-10-100）×10-12F=900pF所以电缆的最大允许长度为：L=(900 pF) /(90pF/m)=10m例13、用石英晶体加速度计测量机器的振动，已知加速度计的灵敏度为2.5pC/g(g =9.8m/s2为重力加速度)，电荷放大器灵敏度为80mV/pC，当机器达到最大加速度时，相应输出电压的幅值为4V。

试计算该机器的振动加速度为多大?解：系统灵敏度K等于传感器灵敏度与电荷放大器灵敏度的乘积，即：K=2.5 pC/g×80 mV/pC =200mV/g系统灵敏度K、输出电压幅值U0及被测加速度幅值a的关系为：K=U0/a所以该机器的振动加速度幅值为：a=U/K=4/(200×10-3)=20g=196m/s2。