4
4
4
1 cos( 2) 1 cos( 2)
2
2
2
2
1 ( cos( 2) cos( 2))
2
2
2
1 ( sin 2 sin 2) 0 2
例题讲解
例2 求证:
(1) sin cos 1 [sin( ) sin( )]
2
(2) sin sin 2sin cos
代数式变换——对代数式的结构形式进 行变换；
三角变换——寻找各个角之间的联系，选 择适当公式进行变换.
三角恒等变换的特点
三角变换的一般思路：
１、找差异 ２、消除差异——由角的联系选择公式 ３、对公式变形
巩固练习1
1、已知180 270, 化简 2 2 cos 2
2、化简cos2 ( ) sin2 ( )
2
2
cos cos 2 • 1 2sin2
2
2
与 有什么关系？
2
是 的倍角
2
解：是 的二倍角.
2
在倍角公式 cos 2 1 2 sin 2 中，
以代替2，以 代替，即得
2
cos 1 2 sin 2 ,
2
所以sin 2 1 cos
2
2
请用 cos表示cos2 和tan2 ?
cos cos cos sin sin
tan tan tan
1 tan tan
知识回顾: 倍角公式
sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
2cos2 1
1 2sin2
tan 2
2 tan 1 tan2
例题讲解
例1、试以cos表示sin
2
2
222
sin 1 cos ,
2
2
cos2 1 cos ,
2
2
cos
1 cos ,
2
2
tan2 1 cos . 2 1 cos
半角公式
tan 1 cos . 2 1 cos
符号由α所在象限决定. 2
不同的三角函数式主要有：
结构形式的差异， 角的差异， 三角函数名称的差异．
代数式变换与三角变换
22 2
2
22 2
2
2sin cos 2sin cos
22
22
sin sin
例题讲解
例2 求证:
(1) sin cos 1 [sin( ) sin( )]
2
(2) sin sin 2sin cos
2
2
哪些公式中含有sin cos ,
证明(1)(2)还有其他的方法吗？
2 2 22 2 2 22
2(sin cos cos2 cos2 sin cos
22 2
22 2
sin2 sin cos cos sin sin2 )
22 2 22 2
2sin cos (cos2 sin2 ) 2sin cos (cos2 sin2 )
2
(2) siin sin
和差化积公式 积化和差公式
cos cos cos cos
sin sin cos cos
巩固练习2
1、求证：tan sin 1 cos 2 1 cos sin
2、已知 sin( ) 1 ,sin( ) 1 ,
2
(2)证明（一）
sin sin
sin(
)
sin(
)
22
22
sin cos cos sin
2
2
2
2
sin cos cos sin
2
2
2
2
2sin cos
2
2
法（二） 2sin( ) cos( )
22
22
2[sin cos cos sin ][cos cos sin sin ]
方程思想
例题讲解
证明(二）：因为
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
将以上两式的左右两边分别相加得：
sin( ) sin( ) 2sin cos 即sin cos 1 [sin( ) sin( )]
2
2
这两个式子左右两边的角有什么关系？ 结构形式上又有不同？
１、证明(一）1 [sin( ) sin( )]
2
1（sin cos cos sin
2
sin cos cos sin )
1 (2 sin cos )
2
sin cos
即
sin cos 1 [sin( ) sin( )]1＼
2
3
求 sin cos, cos sin
巩固练习2
证法一：
sin 1 cos
sin 2
cos
2cos 2
2cos
2
2
sin 2
cos
tan 2
2
巩固练习2
证法二：tan
4
4
1、已知180 270 ,化简 2 2cos 2
解： 2 2cos 2 4cos2 2cos
因为 180 270 所以 2 cos 2 cos
即
2 2 cos 2 2 cos 2
2、化简 cos2( ) sin2( )
cos2 (
)
4 sin2 (
)
2
2
例题讲解
sin2 1 cos ,
2
2
cos2 1 cos ,
2
2
tan2 1 cos . 2 1 cos
从左到右升角降幂
(降幂公式）
以上三个式子，你能发现左右两边在角与结构上 有什么共同特点吗？
已知cos ，如何求 sin 、cos 、tan ?
sin2 1 cos ,
2
例题讲解
证明(三）：由(1)可得：
sin( ) sin( ) 2sin cos
设 ,
换元思想
那么 ，
2
2
把、的值代入上式即得：
sin sin 2sin cos
2
2
例题讲解
例2 求证:
(1) sin cos 1 [sin( ) sin( )]
3.2 简单的三角恒等变换
（一)
学习目标： 1、进一步巩固两角和（差）公式、倍
角公式，掌握它们的变形公式. 2、了解和差化积与积化和差公式、半
角公式的推导思想。 3、能用升降幂公式进行简单的三角变
换，体会三角变换的基本思路，培养推理、 运算能力.
知识回顾: 和（差）三角函数公式、倍角公式是什么？
sin sin cos cos sin