的一般项.
• 数列的几何意义
数列{ x n可}，以看作数轴上的一个动点,它依次
次位于数轴上的坐标 x1,x2,x3, xn .
x1
xn x4 x3 x5 x2
目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束
❖数列的极限
观察数列 {1 (1)n1 }的变化趋势。
邻域 (a,a)内部；
3.当 n时N， x n 一般落在邻域 (a,a) 外边。
(
)
a a a
目录 上页 下页 返回 结束
例如,
1,2,3,L , n ,L
234 n1
xn
n n 1
1(n )
2,1,4,3,L ,n( 1 )n 1,L
收
234
n
敛
xn
n(1)n1 n
1(n )
2,4,8,L ,2n,L
观察数列 {1 (1)n1 }的变化趋势。
n
目录 上页 下页 返回 结束 Nhomakorabea❖数列的极限
观察数列 {1 (1)n1 }的变化趋势。
n
目录 上页 下页 返回 结束
❖数列的极限
观察数列 {1 (1)n1 }的变化趋势。
n
目录 上页 下页 返回 结束
❖数列的极限
观察数列 {1 (1)n1 }的变化趋势。
注：数列{ x n可} 以看作自变量为正整数 的n函数:
xnf(n), nN.
目录 上页 下页 返回 结束
❖数列的概念
如果按照某一法则,对每一 n N ，对应着一个
确定的实数
x
，
n
则得到一个序列
x 1,x 2,x3, xn ,
这一序列称为数列, 记为 { x n }，第 n 项 x n 叫做数列
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则
第一章
目录 上页 下页 返回 结束
1、割圆术：
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于 不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
目录 上页 下页 返回 结束
❖ 引例
割圆术：
(1)n1 1 1 , nn
(1)n1 xn 1 n
给定 1 ,
100
由1 1 ,
n 100
只要 n100时，有
xn
1
1 100
;
给定 1
1 00
0
,
只要 n1000
时，有
1
xn
1
; 1000
给定
1
0
1 0
0
0
,
只要
n10000时，有
1
xn
1
; 10000
任意给定 0, 由 1 ,
n
只要 n [ 1
xn 2n (n ) 发
1 , 1 ,1 ,L ,( 1 )n 1 ,L
散
xn(1)n1 趋势不定
目录 上页 下页 返回 结束
例1 证明 (1)lim(1)n 0 (2)limqn0 (q1)
n n
n
证明 (1) (1)n 0 1
n
n
(2) qn0qn
n 1
nln q ln, n ln N
ln q
0 , N [1] 10 ,nN 时 , 0 , N 0 ,n N ,
(1)n 0 1
n
目录 上页 下页 返回 结束
❖数列的极限
观察数列 {1 (1)n1 }的变化趋势。
n
目录 上页 下页 返回 结束
❖数列的极限
观察数列 {1 (1)n1 }的变化趋势。
n
目录 上页 下页 返回 结束
❖数列的极限
观察数列 {1 (1)n1 }的变化趋势。
n
目录 上页 下页 返回 结束
❖数列的极限
目录 上页 下页 返回 结束
一 数列的概念
如果按照某一法则,对每一 n N ，对应着一个
确定的实数
x
，
n
则得到一个序列
x 1,x 2,x3, xn ,
这一序列称为数列, 记为 { x n }，第 n 项 x n 叫做数列
的一般项.
数列举例:
2， 4， 8， ， 2n ，；
1 ， 1 ， 1 ， 1 ， ， ( - 1 )n 1 , ；
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
目录 上页 下页 返回 结束
正六边形的面积 A 1
正十二边形的面积 A 2
LLLL
R
正 62边n1形的面积 A n
A 1,A 2,A 3, ,A n, 无限接近
S （圆的真实面积）
“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”
lim
n
xn
a,
或
xn a(n ).
•极限定义的简记形式
lim
n
xn
a
0,
N N , 当
n 时N
xn a .
目录 上页 下页 返回 结束
lim
n
xn
a
0,
N N , 当
n 时N
xn a .
❖数列极限的几何意义
1.任意给定的 0 , 有 a 的 邻域；
axna
2.存在N N，当 n 时N x n 全都落在 xn (a， a)
xn a (n )
例如 1 (1)n1 1 , n
1 2n
0,
( 1)n1 趋势不定
问题: “ n 无限增大时，x n 无限接近于a . ”是什
当 意思？ 如何用数学语言刻画它？ 么
目录 上页 下页 返回 结束
•分析 当 n 无限增大时，x n 无限接近于a . 当 n 无限增大时，| xn a | 无限接近于 0 . 当 n 无限增大时，| xn a |无限变小, 要多小就能多小. 只要 n 足够大，| xn a | 就能足够小, 要多小就能多小.
n
目录 上页 下页 返回 结束
❖数列的极限
观察数列 {1 (1)n1 }的变化趋势。
n
通过演示实验的观察:
当n
(1)n1
无限增大时，{1 n }无限接近于1
.
目录 上页 下页 返回 结束
❖数列极限的通俗定义
当 n 无限增大时，如果数列{ x n } 的一般项 x n 无限 接近于常数 a ， 则称常数 a 是数列{ x n } 的极限 或者称 数列{ x n } 收敛于 a ， 记为
任意给定一个正数(无论多么小)， 当 n 足够大时，
| xn a | 总能小于事先给定的那个正数.
任意给定一个正数(无论多么小)， 当 n 足够大时，
| xn a | 总能小于事先给定的那个正数.
等价于 当 n 无限 增大时，x n 无限接近于a .
目录 上页 下页 返回 结束
如上例
xn 1
]
1 ，就 有
xn 1 .
目录 上页 下页 返回 结束
❖数列极限的精确定义
设{ x n } 为一数列 如果存在常数 a , 对于任意给定 的正数 ， 总存在正整数 N , 使得当 n 时N 总有
xn a
成立 则称常数 a 是数列{ x n } 的极限 或者称数列{ x n }
收敛于 a ， 记为