dx ky
k
dy
x a
kx a dx kydy
1 kx2 kax 1 ky2 C
1 2
x2 y2
2
ax C1
2
（2） 由迹线方程定义可写出
dx
d
ux
k y;
dy
d
uy
kx
a
;
1 2
对（2）式求二阶导数
d2y
d 2
k
dx
d
a
dx ky d
又因
dz
d uz 0
Z1
2 gZ2 1g
13.6103 9.8 0.05 1000 9.8
0.68m
20
习题
1-116.3 水管上安装一复式水银测压计，如图 1.3 所示。问 p1, p2, p3, p4 哪个最大？哪个最小？ 那些相等？为什么？
解：由流体静压强分布规律及等压面的关系得 ： h4
h1
对与等压面B-B，pB p1 汞gh2 p2 水 gh2
所题以中：， p1 最小， p2 和 p3 相等，而 p4 最大。
21
习题
1-117.4 封闭水箱各测压管的液面高程为：1 100cm,2 20cm,4 60cm ，问 3 为多少？
解：由流体静压强分布规律及等压面的关系得 ：
p p0 gh
p3 p0 水 g(1 3 )
p3 p0 水银 g(2 3 )
uz
uy z
6y
1 2
az
duz d
uz
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
0
分别对速度的欧拉描述进行积分得：
因：
dx d
ux
2x
1
;
dy d
uy
3y
1
;
dz d
uz
z
1
所以： x c11 2;
y c21 3
z c31
（2）由题意得： τ=0时，x=a, y=b z=c ;代入上式有：
材料工程基础第一章部分讲解及课后答案
1
• 拉格朗日描述
位 置 r r (a,b, c, ) 或
速 度 u u(a,b, c, ) 或
加速度
ax
(a,b, c,
)
ux
(a, b,
c,
)
2x(a,b, c, 2
)
ay
(a, b,
c,
)
u y
(a, b,
c,
)
2 y(a,b, c, ) 2
解：（1） 根据散度和旋度的定义，可得：
divu
•u
ux
u y
uz
2
3
1
6
x y z 1 1 1 1
i jk
rot u u
x
y
z
uz y
uy z
i
ux z
uz x
j
u y x
ux y
k 0
ux uy uz
（2） 由连续性方程得，当流体不可压时应满足： u 0
又因
u
6
0
1
位置
r r (x( ), y( ), z( ), ) 或
x x( ) y y( )
z z( )
速度
u
dr
u(r,
)
ux
ux (x,
y,
z, )
dx d
d
或
u(x( ), y( ), z( ), )
uy
uy (x,
y,
z, )
dy d
uz
uz (x,
y, z, )
dz d
加速度
a(x,
y
c2eb
2
b
2 b2
2 b3 ;
当 0时刻，x a, y b, z c 代入上式得：
z c3
c1
a
2 a3
c2
b
2 b3
又因：a b 0
c3 c
x
（a
2 a3
）e
a
2 a
2 a2
2 a3
;
y （ a
2 ）ea
2
2
2;
a3
a a2 a3
zc
所以：流体运动加速度的拉格朗日描述为
解：速度的拉格朗日描述
u u u x 0; y e b c e b c ; z e b c e b c ;
x
y
2
2 z 2
2
由已知条件得： a x;
bc
y e
z
;
bc
yz e
代入上式得速度的欧拉描述：
u x 0;
u e y
yz 2e
e
yz 2e
yz 2
yz 2
z;
x
y
z
dx d
ux
x2 ;
dy d
uy
y 2;
dz d
uz
xz
积分得： x
2
2
c1;
3
y c2e 3 ;
2
z c3e
代入已知条件τ=1时刻，质点p的坐标为（1，3，2）
求得：c1 3;
-1
c2 3e 3 ;
c2 2e2;
求得：
x
2
2
3
y
3e
1 3
(
3
1)
z
2e2
1
1
所以，流体运动的速度的拉格朗日描述为
az
(a,b, c,
)
uz
(a,b, c,
)
2z(a,b, c, 2
)
x x(a,b, c, )
y y(a,b, c, ) z z(a,b, c, )
ux
(a,
b, c,
)
x(a, b,
c,
)
uy
(a,b, c,
)
y(a,b, c,
)
uz
(a,b, c,
)
z(a,b, c,
)
• 欧拉描述
du 0 1 dy 1103 0 1000 1/ s F mg sin 59.8 5 18.84N
13 F 18.84 0.10Pa / s
A du 0.18 (1000) dy
1-11 图示为一水平方向运动的木板，其速度为1m/s。平板如在油面上， 10mm ，油的 0.09807Pa s 。求作用在平板单位面积上的阻力。
所以： c1 a; c2 b; 质点的迹线方程为
c3 c
x a1 2 y b1 3 z c1
1 6 设流体运动的欧拉描述 为u x ky, u y kx a , uz 0, 其中k与a为常数，
求 1 时刻的流线方程；
2 0时在a,b, c处流体质点的迹线。
解：（1） 由流线方程
解：
1-12 试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续条件：
解：由流体的连续性方程 d divu 0得，当流体不可压缩
时，
d
divu 0 即：ux uy uz 0
x y z
（1）
ux x2 y2 uy 2xy uz 0
所以：divu ux uy uz 2x 2x 0 0 x y z
通过x 1, y 1的迹线。
解：（1） 由流线方程
dx dy , 对此积分可得 x y
nx ny C x y ec C
代入过空间点1，1得：1 1 C C 1 2
则通过空间点 1，1的流线为：x y 1 2
（2） 由迹线方程 dx x , dy y , dz 0 对此积分可得
满足不可压缩的条件
（2）
ux y2 z2 uy z2 x2 uz x2 y2
所以：divu ux uy uz 0 0 0 0 x y z
满足不可压缩的条件
1-13 试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续条件：
（3） 由题有
ux k(2x y), uy 2ky, uz 0
y,
z, )
du
u
u
dx
u
dy
u
dz
d x d y d z d
u u u u
u
ux x uy
(u • )u
y
uz
z
——哈密顿算子；
i
j
k
x y z
1-1流体质点的位置用x
a,
y
e
b
c 2
e
bc 2
,z
e
bc 2
e
b
c 2
, 表示，求其速
度的拉格朗日描述与欧拉描述。
dx 2x
dy 3y
dz z
1 1 1
1
1
1
即x 2 1 y3
c1;
x z
2
c2 ;
y3 z
c3;
质点的迹线方程为：
因：
dx d
ux
2x
1
;
dy d
uy
3y
1
;
dz d
uz
z
1
分别积分得：
所以： x c11 2;
y c21 3
z c31
τ=0时，x=a, y=b z=c ;代入上式有：
3
d2y
d 2
k 2 y
ka
二阶线性非齐次 常微分方程
1
2
所以，求得其通解为
y
C1
cosk
C2
sin
k
a k
代入（1）式得：
dx
d
ux
ky