9.1 线性系统的状态空间描述

x1
x
x2
M
xn
u1
u
u2
M
u
p
y1
y
y2
M
yq
分别写出状态矩阵A、控制矩阵B、输出矩阵C、前馈矩阵D :
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M
an1 an2 L
a1n
a2n
M
ann
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引言

经典控制理论
a.特点 ➢研究对象：单输入、单输出(SISO)线性定常系统。 ➢解决方法：频率法、根轨迹法、传递函数。 ➢非线性系统：相平面法和描述函数法。 ➢数学工具：微分方程、差分方程、拉氏变换、Z变换
b.局限性 ➢不能应用于时变系统、多变量系统。 ➢不能揭示系统更为深刻的内部特性。
9.1 线性系统的状态空间描述

机械系统的系统方程为
x1 x2
0
k m
1 f
m
x1 x2
0 1
m
F
y 1
0
x1 x2
该系统的状态图如下
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9.1 线性系统的状态空间描述

对左图，假定电容器初始电压值均为0，有x2
c2
c3
c3
x1
x3
c2 c2 c3
x1
因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其中一个，即用
其中的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行为。
对右图，x1 = x2，因此两者相关，电路只有两个变量是独立 的，即（x1和x3）或(x2和x3)，可以任用其中一组变量。
在任意初始时刻 t0 的值以及t ≥ t0的系统输入，便能够完整地 确定系统在任意时刻 t 的状态。（状态变量的选择可以不同）
状态空间：以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线 性空间，称为状态空间。
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9.1 线性系统的状态空间描述

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9.1 线性系统的状态空间描述


1、根据系统机理建立状态空间表达式
例2 试列写如图所示RLC的电路方程，选择几组状态变量并建 立相应的动态方程，并就所选状态变量间的关系进行讨论。
解：根据回路电压定律
Ri
L
di dt
2、由系统微分方程建立状态空间表达式 （1）系统输入量中不含导数项
一般情况下，n 阶微分方程为：
y(n) an1 y(n1) L a1 y& a0 y 0u
选择状态变量如下： x1 y x&1 x2 y& x&2 x3 &y&
… x&n1 xn y(n1)
x&n y(n) a0 x1 a1 x2 L an1 xn 0u
➢便于考虑初始条件（与传递函数比较）
➢适用于多变量、非线性、时变等复杂大型控制系统
➢便于计算机分析与计算
➢便于性能的最优化设计与控制
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9.1 线性系统的状态空间描述

一、系统数学描述的两种基本类型
外部变量
u1
u2
x1, x2 , xn
up
内部变量
外部描述：输入输出 描述（1-5章）
y1
内部描述：状态空间
y2
描述。包括状态方程
（反映内部变量和输
入变量间因果关系）
yq
和输出方程（表征系
统内部变量及输入变
量和输出变量间转换
关系）。
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9.1 线性系统的状态空间描述

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引言

现代控制理论
a.特点 ➢研究对象：多输入、多输出系统，线性、非线性、定常或时变、 连续或离散系统。 ➢解决方法：状态空间法（时域方法）。 ➢数学工具：线性代数、微分方程组、矩阵理论。
b.优越性：
➢能描述系统内部的运行状态
动态方程：状态方程与输出方程的组合称为动态方程，又称 为状态空间表达式 。一般形式为
x&(t) f x(t), u(t), t y(t) g x(t), u(t), t
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9.1 线性系统的状态空间描述

线性系统：线性系统的状态方程是一阶向量线性微分或差分方程，
0
0
0 M
x1
x2
0
M u
1 an1
M
xn
0
0
xn T
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9.1 线性系统的状态空间描述

例4：设描述系统输入输出关系的微分方程是
&x&(t) 3x&(t) 2x(t) u(t) (1)若选状态变量为 x1 x, x2 x&，试列写该系统的状态方程。 (2)若重选一组状态变量为 x1 , x2 ，使得
b11 b12 L
B
b21
M
b22 M
L
bn1 bn2 L
b1 p
b2 p M bnp
c11 c12 L c1n
C
c21
M
c22 M
L
c2n
M
cq1 cq2 L
cqn
d11 d12 L
D
d21
M
d 22 M
L
dq1 dq2 L
d1 p
d2p M d华qp中 科技Co大m学pa文ny 华Lo学go院
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9.1 线性系统的状态空间描述

对 xn 式求导，有 ：
x&n y(n) h0u(n) h1u(n1) L hn1u&
y(n) an1 y(n1) L
a1
y&
a0
y
bn u( n )
b u(n1) n1
状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向量 微分或差分方程称为系统的状态方程，它不含输入的微积分
项。一般情况下，状态方程可以表示为 x&(t) f x(t),u(t),t
输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间 函数关系的代数方程称为输出方程，当输出由传感器得到时，
又称为观测方程。输出方程的一般形式为 y(t) g x(t),u(t),t
x&n1 hhnn11u b1y(na1n)1hhn0u2 (nL1) ha1u1h(n02) L
hn1u
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9.1 线性系统的状态空间描述

记
hn b0 an1hn1 L a1h1 a0h0
1 C
idt
e
电路输出量y为
y
ec
1 C
idt
1)设状态变量为电感器电流和电容器电压，即
则状态方程为
x1
R L
x1
1 L
x2
1 L
e
x2
x1
i 1
x2 C
1
C x1
idt
输出方程为 y x2
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9.1 线性系统的状态空间描述

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9.1 线性系统的状态空间描述

写成矩阵形式： x&1
x&2
0 0 M
1 0 M
0 1 M
M
x&n
0
a0
0 a1
0 a2
y 1 0 L 0x1
系统的状态图如下：
0L 0L M 0L a3 L
x2 L
质量块 m 的重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相抵消）
根据牛顿第二定律
F
F
ky
f
dy dt
m
d2 dt
y
2
即：
d2y m dt2
f
dy ky dt
F
选择状态变量 x1 y x2 y x1
则：
x1 x2
x2
k m
y
f m
dy dt
1 m
F
k m
x1
f m
x2
1 m
F
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L
b1u& b0u
x&n (an1 y(n1) L a1 y& a0 y b0u(n) L b0u) h0u(n) h1u(n1) L hn1u&
选取的状态变量要使状态方程中不出现输入导数项
x1 x2 x3 M
xn
y h0uh0 bn x&1 h1hu1 by&n1h0u&anh1h1u0 x&2 hM2u &y& h0u& h1u& h2u
其向量-矩阵形式为
x&1
x&2
R L
1
C
1
L
0
x1 x2
1
L
0
e
y 0
1
x1 x2
2)设状态变量为电容器电流和电荷，即 x1 i, x2 idt
则有
x&1 x&2
R L
1
1 LC 0
x1 x2
1
L
0
e,
y