第二章 函数与导数第5课时 函数的图象第三章 (对应学生用书(文)、(理)15～17页)1. (必修1P 53复习14)函数y ＝f(x)与y ＝f(－x)的图象关于________对称． 答案：y 轴2. (必修1P 64练习6)函数y ＝2－x的图象是________．(填序号)答案：①3. (必修1P 30练习3改编)函数y ＝f(x)的图象如图所示，则 (1) f(0)＝________，f(－1)＝________，f(4)＝________．(2) 若－1<x 1≤x 2<2，则f(x 1)与f(x 2)的大小关系是________________．答案：(1) 4 5 6 (2) f(x 1)≥f(x 2)4. (原创)函数y ＝x －2x ＋2的图象关于________对称．答案：(－2，1)解析：由y ＝x －2x ＋2＝1－4x ＋2，知y ＝x －2x ＋2的图象可以由y ＝－4x 的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位而得．由于函数y ＝－4x 的图象关于原点对称，所以y ＝x －2x ＋2的图象关于(－2，1)对称．5. (必修1P 36习题9改编)某同学从A 地跑步到B 地，随路程的增加速度减小．若以y 表示该同学离B 地的距离，x 表示出发后的时间，则下列图象中较符合该同学走法的是____________．(填序号)答案：③解析：由于y 表示该同学离B 地的距离，所以答案在①③中选，又随路程的增加速度减小，一半的时间内所走的路程要大于总路程的一半，故选③.1. 基本初等函数及其图象 (1) 一次函数y ＝ax ＋b(a≠0)(2) 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)(3) 反比例函数y ＝kx(k≠0)(4) 指数函数y＝a x(a>0，a≠1)(5) 对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)(1) 平移变换(2) 对称变换(3) 翻折变换[备课札记]题型1 利用描点法画函数图象 例1 画出下列函数的图象． (1) y ＝2x －1，x ∈Z ，|x|≤2；(2) y ＝2x 2－4x －3(0≤x<3)； (3) y ＝12(lgx ＋|lgx|)．解：(1) (2)(3)解析：(1) ∵ x∈Z ，|x|≤2，∴ x ＝±2、±1、0，图象由五个孤立点组成，如(1)图所示．(2) ∵ y＝2x 2－4x －3＝2(x －1)2－5(0≤x<3)，∴ 图象为抛物线上的一段弧，如(2)图所示．(3) ∵ y＝12(lgx ＋|lgx|)＝⎩⎪⎨⎪⎧lgx ，x ≥1，0，0<x<1，∴ 图象由两部分组成，如图(3)所示．备选变式（教师专享） 画出下列函数的图象： (1) y ＝x 2－2x ()||x >1；(2) f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ；(3) y ＝x|2－x|.解：(1)∵ ||x >1，∴ x<－1或x>1，图象是两段曲线，如图①.(2)f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x()x>0－1x()x<0 ，图象如图②.,①),②)(3) ∵ y＝x|2－x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x （x≥2）－x 2＋2x （x<2），∴ 图象由两部分组成，如图③.③题型2 利用图象的平移变换作函数图象例2 (1) 已知函数y ＝f(x)的图象如图所示，请根据已知图象作出下列函数的图象： ①y ＝f(x ＋1)；②y＝f(x)＋2；(2) 作出函数y ＝2－x －3＋1的图象．解：(1) 将函数y ＝f(x)的图象向左平移一个单位得到y ＝f(x ＋1)的图象(如图①所示)，将函数y ＝f(x)的图象向上平移两个单位得到y ＝f(x)＋2的图象(如图②所示)．(2) 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3＋1，只需将函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝2－x －3＋1的图象，如图③.③变式训练作下列函数的图象． (1) y ＝3x －1x －2；(2) y ＝log 13[3(x ＋1)]．解：(1) 由y ＝3＋5x －2，将函数y ＝5x 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到函数y ＝3x －1x －2的图象，如图．(2) 由y ＝log 133＋log 13(x ＋1)＝log 13(x ＋1)－1，将函数y ＝log 13x 的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数y ＝log 13[3(x ＋1)]的图象，图略．题型3 函数图象的应用例3 当m 为何值时，方程x 2－4|x|＋5－m ＝0有四个不相等的实数根？解：方程x 2－4|x|＋5－m ＝0变形为x 2－4|x|＋5＝m ，设y 1＝x 2－4|x|＋5＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5（x≥0），x 2＋4x ＋5（x<0），y 2＝m ，在同一坐标系下分别作出函数y 1和y 2的图象，如图所示．由两个函数图象的交点可以知道，当两函数图象有四个不同交点，即方程有四个不同的实数根，满足条件的m 取值范围是1<m<5.备选变式（教师专享）已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，求实数k 的取值范围．解：y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>1，－x －1，－1≤x<1x ＋1，x<－1，在同一直角坐标系下画出两函数的图象，当x>1时，有两交点的实数k 的取值范围为1<k<4；当x<1时，有两交点的实数k 的取值范围为0<k<1，所以实数k 的取值范围是0<k<1或1<k<4.1. (2013·福建)函数f(x)＝ln(x 2＋1)的图象大致是________．(填序号)答案：①解析：f(x)＝ln(x 2＋1)，x ∈R ，当x ＝0时，f(0)＝ln1＝0，即f(x)过点(0，0)．又f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f(x)，即f(x)是偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选①.2. (2013·徐州期初)已知直线y ＝a 与函数f(x)＝2x 及g(x)＝3·2x的图象分别相交于A 、B 两点，则A 、B 两点之间的距离为________．答案：log 23解析：由题意知A(log 2a ，a)，B(log 2a3，a)，所以A 、B 之间的距离AB ＝|x A －x B |＝log 23.3. (2013·安徽)函数y ＝f(x)的图象如图所示，在区间[a ，b]上可以找到n(n≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n，则n 的取值集合是________．答案：{}2，3，4解析：由题意，函数y ＝f(x)上的任一点坐标为(x ，f(x))，故f （x ）x 表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率．若f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n ，则曲线上存在n 个点与原点连线的斜率相等，即过原点的直线与曲线y ＝f(x)有n 个交点，数形结合可得n 的取值可为2，3，4.4. (2013·新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是________．答案：[－2，0]解析：作出函数y ＝|f(x)|的图象，当|f(x)|≥ax 时，必有k ≤a ≤0，其中k 是y ＝x 2－2x(x≤0)在原点处的切线斜率，显然k ＝－2.所以a 的取值范围是[－2，0]．1. 函数y ＝e x＋e－xe x －e－x 的图象大致为________．(填序号)答案：①解析：由e x－e －x≠0，得定义域为{x|x≠0}，排除③、④.又y ＝e x＋e －xe x －e －x ＝e 2x＋1e 2x －1＝1＋2e 2x－1，所以当x ＞0时函数为减函数，故应为①. 2. 对实数a 和b ，定义运算“ ”：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b≤1，b ，a －b>1.设函数f(x)＝(x 2－2) (x－1)，x ∈R .若函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．答案：(－2，－1]∪(1，2]解析：由题意，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x≤2，x －1，x<－1或x>2，作出图象，数形结合知，c ∈(－2，－1]∪(1，2]．3. 设函数f(x)(x∈R )满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x ∈[0，1]时f(x)＝x 3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为________． 答案：6解析：因为当x∈[0，1]时f(x)＝x 3，所以当x∈[1，2]时，(2－x)∈[0，1]，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3.当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，g(x)＝xcos(πx)；当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32时，g(x)＝－xcos(πx)，注意到函数f(x)、g(x)都是偶函数，且f(0)＝ g(0), f(1)＝ g(1)，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0，作出函数f(x)、g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上各有一个零点，所以共有6个零点． 4. 已知函数f(x)＝ax 3－3ax ，g(x)＝bx 2＋clnx ，且g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为2y －1＝0.(1) 求g(x)的解析式；(2) 设函数G(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ≤0，g （x ），x ＞0，若方程G(x)＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解：(1) g′(x)＝2bx ＋cx.由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧g′（1）＝0，g （1）＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c ＝0，b ＝12，∴ b ＝12，c ＝－1， ∴ g(x)＝12x 2－lnx.(2) G(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 3－3ax ，x ≤0，12x 2－lnx ，x ＞0，当x ＞0时，G(x)＝g(x)＝12x 2－lnx ，g ′(x)＝x －1x ＝（x ＋1）（x －1）x.令g′(x)＝0，得x ＝1，且当x∈(0，1)，g ′(x)＜0，x ∈(1，＋∞)，g ′(x)＞0，∴ g(x)在(0，＋∞)上有极小值，即最小值为g(1)＝12.当x≤0时，G(x)＝f(x)＝ax 3－3ax ，f ′(x)＝3ax 2－3a ＝3a(x ＋1)(x －1)． 令f′(x)＝0，得x ＝－1.①若a ＝0，方程G(x)＝a 2不可能有四个解；②若a ＜0时，当x∈(－∞，－1)，f ′(x)＜0，当x∈(－1，0)，f ′(x)＞0，∴ f(x)在(－∞，0]上有极小值，即最小值为f(－1)＝2a.又f(0)＝0，∴ G(x)的图象如图①所示，从图象可以看出方程G(x)＝a 2不可能有四个解；,①) ,②)③若a ＞0时，当x∈(－∞，－1)，f ′(x)＞0，当x∈(－1，0)，f ′(x)＜0，∴ f(x)在(－∞，0]上有极大值，即最大值为f(－1)＝2a.又f(0)＝0，∴ G(x)的图象如图②所示．从图象可以看出方程G(x)＝a 2若有四个解，必须12＜a 2＜2a ，∴ 22＜a ＜2.综上所述，满足条件的实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，2.1. 作图的前提要能熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数图象等．2. 掌握几种图象的变换的方法技巧，如平移变换、伸缩变换、对称变换、周期变换、翻折变换等，能帮助我们简化作图过程．3. 利用函数图象可以解决一些形如f(x)＝g(x)的方程解的个数问题，解题中要注意对方程适当变形，选择适当的函数作图．请使用课时训练（B ）第5课时（见活页）.第11 页共11 页。