圆柱坐标系和球面坐标系
坐标单位矢量
e , e , ez
任一矢量A 面元矢量
A e A e A ez Az
dS
e
ddz
dS
e
ddz
dS z
ez
dd
体积元
dV dddz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
12
3、球坐标系
坐标变量
r, ,
ex ey ey ez ez ex 0
ex ex ey ey ez ez 1
A B AB
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
7
（4）矢量的矢积（叉积）
A
B
en
AB
sin
用坐标分量表示为
A B ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx )
1、直角坐标系
坐标变量 x, y, z
坐标单位矢量
ex , ey , ez
任一矢量A 面元矢量
A ex Ax ey Ay ez Az
dSx exdydz
dS y eydxdz
dSz ezdxdy
体积元
dV dxdydz
z
z z0 （ez平面）
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2
本章内容
1.1 矢量代数 1.2 常用正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流和旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
坐标单位矢量 er , e , e
任一矢量A A er Ar e A e A
面元矢量
ddSSrerer2srinsindddrd
dS
e
rdrd
体积元
dV r 2sindrdd
球面坐标系 球坐标系中的线元、面元和体积元
第1章 矢量分析
8
（5）矢量的混合运算
(A B)C AC B C
—— 分配律
( A B) C A C B C —— 分配律
A (B C) B (C A) C ( A B) —— 标量三重积
kA
ex k Ax
ey k Ay
ez k Az
（3）矢量的标积（点积）
A B AB cos AxBx Ay By Az Bz
A
B
B
A
——矢量的标积符合交换律
B
A
矢量 A与 B的夹角
AB
A B 0 A// B
er
e
ex
sin cos
cos sin
ey
sin sin cos sin
ez
cos sin
e sin
cos
0
y
e
13
ey e
ex
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间
坐标单位矢量的关系
z
ez
写成行列式形式为
ex ey ez A B Ax Ay Az
Bx By Bz
A B B A
若
A
B，则
A B AB
若 A // B ，则
AB 0
A B
B AB sin
A
矢量A 与B的叉积
电磁场与电磁波
3
1. 标量和矢量
1.1 矢量代数
标量：一个只用大小描述的物理量。
矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字
母或带箭头的字母表示。
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的代数表示：A
eA A
eA
A
矢量的大小或模：A A
矢量的单位矢量： eA
A A
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z
dS z
ezdxdy
dz
dS y
eydxdz
dx
o
dy
dSx
exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
11
2、圆柱坐标系
坐标变量
,, z
矢量的加法
A
B
ex
( Ax
Bx
)
ey
( Ay
By
)
ez
(
Az
Bz
)
矢量的加减符合交换律和结合律
交换律 A B B A
B
A
AB
B
结合律 A (B C) ( A B) C
矢量的减法
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
6
（2）标量乘矢量
A (B C) ( AC)B ( A B)C —— 矢量三重积
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
9
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球面坐标系。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
10
常矢量：大小和方向均不变的矢量。
A
矢量的几何表示
注意：单位矢量不一定是常矢量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
4
矢量用坐标分量表示
A
Axex
Ayey
Az ez
z Az
Ax
A
Ay
y
x
Ax A cos
Ay A cos
Az A cos
A
A(ex
cos
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
4、坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与 圆柱坐标系
eeez
ex
cos sin
0
圆柱坐标与 球坐标系
er
e
e
e
sin cos
0
ey
sin cos
0
e
0 0 1
ez
0 0 1
ez
cos sin
0
直角坐标与 球坐标系
ey
cosBiblioteka ezcos
)
eA ex cos ey cos ez cos
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
5
2. 矢量的代数运算
（1）矢量的加减法
两矢量的加减在几何上是以这两矢量为 B
邻边的平行四边形的对角线,如图所示。
A B
A
直角坐标系中两矢量的加法和减法：
