你应该能推出 对面积的曲面 积分的计算公 式了.
1. : z z(x, y) , 在 x y 平面上的投影区域为 Dxy , 则
f (x, y, z) d S f (x, y, z(x, y)) 1 zx2 zy2 d x d y .
D xy
2. : x x( y, z) , 在 yz 平面上的投影区域为 Dyz , 则
3 {(x, y, z) | z 0, x 0, y 0, x y 1},
4 {(x, y, z) | x 0, y 0, z 0, x y z 1},
则 1 2 3 4 .
(1
d x
S
y)2
(
1 2 3 4
)
(1
d x
S
y)2
3 2
3(
3 1) ln 2 .
练习
例1 计算 (xy yz xz)dS, 其中为锥面 z x2 y2
被柱面x2+y2=2ax所截的部分.
z
解: 曲面关于xOz面对称, 其第一卦限部分如图.
因为: z x2 y2 z x , z y ,
x x2 y2 y x2 y2
oy
dS 1 (z )2 ( z )2dxdy 2dxdy x y
定义在曲面 上
f (x, y, z) d S —被积表达式； f (x, y, z)—被积函数；
d S —曲面面积元素；
—积分曲面.
如果积分曲线为一张封闭曲面 , 则积分记为
n
f (x, y, z) d S lim 0 i1
f (i ,i , i )Si .
对面积的曲面积分的性质
1. 如果 ＝ 1 2 , 1 和 2 是光滑曲面 , 则
则称该极限值为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积的曲面积分 ,
记为
n
f (x, y, z) d S lim 0 i1
f (i ,i , i )Si .
对面积的曲面积分的记 号
n
f (x, y, z) d S lim 0 i1
f (i ,i , i )Si .
— 对面积的曲面积分号；
f (x, y, z) d S f (x, y, z) d S f (x, y, z) d S .
1
2
2. 当 f (x, y, z) 1 时,
f (x, y, z) d S d S | | ( | | 为曲面 的面积) .
自己证明 (参照二重积分) .
三. 直角坐标系下对面积的曲面积分的计算
( x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2的上半部分上侧. z
n
解: zdxdy (c R2 (x a)2 ( y b)2 )dxdy
xau
Dxy
c R2
ybv
u2 v2 R2
R2 u2 v2dudv c R2 2 R3
3o
xdydz (a R2 ( y b)2 (z c)2 )dydz x
第三章 多元函数积分学
第七节 对面积的曲面积分
本节教学要求：
▪ 正确理解对面积的曲面积分的概念和物理背景。 ▪ 熟悉对面积的曲面积分的计算方法。
第七节 对面积的曲面积分
一. 对面积的曲面积分的物理背景 二. 对面积的曲面积分的定义和性质 三. 直角坐标系下对面积的曲面积分的计算
一. 对面积的曲面积分的物理背景 设有一质量非均匀分布的光滑薄壳(曲面) 构件 , 其
归结为
对面积的曲面积分的计算
相应的二重积分计算
回忆二重积分应用中计算曲面面积的公式:
设曲面 的方程为 z z(x, y) , 在 xy 平面上的投影区域
为 Dxy , 则曲面 的面积 | |的计算公式为
| | 1 zx2 zy2 d x d y .
D xy
曲面 的曲面面积元素为
d S 1 zx2 zy2 d x d y .
1
2
x2 d
y2)
1 2
dS
2a
0
2
ar
Dx 2
y
(x2 r dr
y2
) 1
a2
a4
a x2
(8 5
y2
2)
o
Dxy
x
dxdy
0
0
a2 r2
6
2
a
y
例4 计算曲面积分 I z2ds, 其中为圆锥面的一部分 x r cos sin, y r sin sin, z r cos,(0 r a,0 2 ),
Dxy
y
Dyz
xau
(a R2 ( y b)2 (z c)2 )dydz
2
R2 u2 v2dudv Dyz
ybv
u2 v2 R2 ,0v
2 R3
3
类似地,有
ydzdx 2 R3
3
所以,
I c R2 2 R3
例3 计算曲面积分I f (x, y, z)ds, 其中为上半球面
Dxy
cot2 csc 2 d asin r3dr a4 cos2 sin
0
0
2
例5
计算曲面积分 I
x2
1 y2
z2
ds,
其中为介于平面
z=0及z=H之间的圆柱面x2+y2=R2.
z
解: 在yoz面上投影为 Dyz {(x, y) | R y R,0 z H} H
又在Dyz上的显式方程为 x R2 y2
将 任意分 成 n 个小块 Si ( i 1, 2 , , n) , 每个小块的面
积记为 Si , 并记 m1 iaxn{Si}. 若 (i ,i , i ) Si , 极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i , i )Si
存在, 且极限值与对曲面 的分法和点(i ,i , i ) 的取法无关,
为常数, 且0 .
2
z
解: 的直角坐标方程为： x2 y2 z tan
在xoy面上投影为Dxy {(x, y) | x2 y2 a2 sin2 } 于是, 1 zx2 zy2 1 cot2 csc
y
x o Dxy
I z2dS (x2 y2)cot2 cscdxdy
x2
y2
z2
a2(z
0)
而
f
(
x,
y,
z
)
x
2
y2 , z
x2 y2 .
0, z x2 y2
解: 在 z x2 y2 的部分记作1,其余部
z
分记作2, 1在xoy面上投影为
h1
I
Dx
y
{(x,
y)
|
x2
y2
1 2
a2}
于是,
(x2 y2)d S (x2 y2)d S
1
(
z 1
z 2
得到 在 xy 平面上的投影区域 Dxy {(x, y) | 1 x2 y2 4}.
又 z x , z y , 故 d S 2 d x d y , x x2 y2 y x2 y2
(x2 y2 z) d S (x2 y2 x2 y2 ) 2 d x d y
R2 y2 0 R2 z2
R
密度 是 上点的连续函数: f (x, y, z) (x, y, z) . 求曲面构件 的质量 .
将构件简化为数学中具有质量的曲面. 仿照质量非均匀分布的曲线构件的质量计算方法:
分割 —— 近似 —— 求和 —— 取极限 .
二. 对面积的曲面积分的定义和性质
设函数 f (x, y, z) 是定义在曲面 上的有界函数 .
Dxz
例 设 是球面 x2 y2 z2 a2 被平面 z h (0 h a)
截出的顶部,
x2 y2 .
在 x y 平面上的投影区域
Dx
为
y
x
O
y
x2 y2 z2 a2 zh
Dxy : x2 y2 a2 h2.
又
dS
1 zx2 zy2 d x d y
x
曲面在xOy的投影区域为 Dxy : x2 y2 2ax,
（ xy yz xz)dS [xy (x y) x2 y2 ] 2dxdy
Dxy
例1续 计算 (xy yz xz)dS, 其中为锥面 z x2 y2
被柱面x2+y2=2ax所截的部分.
z
（ xy yz xz)dS [xy (x y) x2 y2 ] 2dxdy
Dx y
2
2 d
2 (r2 r) r d r 73 2 .
0
1
6
例
求
dS (1 x
y)2
,
其中
为平面 x y z 1与三个坐标面
所围成的四面体的表面.
x
z
4 2 1
3
解 记 1 {(x, y, z) | x 0, y 0, z 0, y z 1},
y
计算 i
2 {(x, y, z) | y 0, x 0, z 0, x z 1},
Dxy
2
2 d
2acos r2[cos sin cos sin ]rdr
2
0
oy
2
2
(cos
sin
cos
sin )
1
x
(2a cos )4d
2
4
8
2a4
2 cos5d
8
2a4 4 2 64
2a4
0
53 15
例2
计算I xdydz ydzdx zdxdy,其中为球面
故积分要分前后两个部分的曲面积分.
x
m
y ds
,1x 0y2