1 代数综合专题
东城区
20. 已知关于x 的一元二次方程()2320x m x m -+++=.
(1) 求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根；
(2) 若方程有一个根的平方等于4，求m 的值.
20. （1）证明：()()2=+3-42m m ∆+()2=+1m
∵()2+10m ≥，
∴无论实数m 取何值，方程总有两个实根. -------------------2分
（2）解：由求根公式，得()()1,231=
2m m x +±+， ∴1=1x ，2=+2x m .
∵方程有一个根的平方等于4，
∴()2+24m =.
解得=-4m ，或=0m . -------------------5分
西城区
20．已知关于x 的方程2(3)30mx m x +--=（m 为实数，0m ≠）．
（1）求证：此方程总有两个实数根．
（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值．
【解析】（1）2222(3)4(3)691269(3)0m m m m m m m m ∆=--⨯-=-++=++=+≥
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）由求根公式，得(3)(3)2m m x m --±+=
， ∴11x =，23x m
=-（0m ≠）． ∵此方程的两个实数根都为正整数，
∴整数m 的值为1-或3-．
海淀区
20．关于x 的一元二次方程22(23)10x m x m --++=.
（1）若m 是方程的一个实数根，求m 的值；
（2）若m 为负数．．
，判断方程根的情况. 20．解：（1）∵m 是方程的一个实数根，
2 ∴()222310m m m m --++=. ………………1分 ∴13
m =-. ………………3分 (2)2
4125b ac m ∆=-=-+.
∵0m <，
∴120m ->.
∴1250m ∆=-+>. ………………4分
∴此方程有两个不相等的实数根.
丰台区
20．已知：关于x 的一元二次方程x 2 - 4x + 2m = 0有两个不相等的实数根．
（1）求m 的取值范围；
（2）如果m 为非负整数．．．．，且该方程的根都是整数．．
，求m 的值．
20．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0.
∴Δ=24421680m m --⋅=->（）． ∴2m <. ………………………2分
（2）∵2m <，且m 为非负整数，
∴=0m 或1. ………………………3分
当m =0时，方程为240x x -=，解得方程的根为01=x ，24x =，符合题意；
当m =1时，方程为2420x x -+=，它的根不是整数，不合题意，舍去.
综上所述，m =0. ………………………5分
石景山区
20．关于x 的一元二次方程2(32)60mx m x +--=．
（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当m 为何整数时，此方程的两个根都为负整数．
20．解：（1）∵24b ac ∆=-
2(32)24m m =-+
2(32)0m =+≥
∴当0m ≠且2
3m ≠-时,方程有两个不相等实数根. …………… 3分
（2）解方程，得： 12x m
=
,23x =-． …………… 4分
3 ∵m 为整数,且方程的两个根均为负整数,
∴1m =-或2m =-．
∴1m =-或2m =-时, 此方程的两个根都为负整数. …………… 5分
朝阳区
20. 已知关于x 的一元二次方程0)1(2=+++k x k x ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是正数，求k 的取值范围.
20. （1）证明：依题意，得k k 4)1(2-+=∆ …………………1分
.)1(2-=k …………………………………2分
∵0)1(2≥-k ，
∴方程总有两个实数根. ………………………3分
（2）解：由求根公式，得11-=x ，k x -=2. …………………………4分
∵方程有一个根是正数，
∴0>-k .
∴0<k .………………………………5分
燕山区
21．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）当方程有一个根为1时，求k 的值．
21．（1） 证明：因为[])(14)12(422
2k k k ac b +⨯⨯-+-=- 01〉=
所以有两个不等实根 …………3′..
(2)当x=1 时，01)12(12
=++⨯+-k k k 02=-k k ′
1021==k k 或 ………5′
门头沟区
22. 已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根.
（1）求k 的取值范围；
（2）若k 为正整数，且方程有两个非零的整数根，求k 的取值.
22（本小题满分5分）
解：（1）由题意得，168(1)0k ∆=--≥．………………………………………1分
∴3k ≤． ………………………………………2分
4 （2）∵k 为正整数，
∴123k =，，．
当1k =时，方程22410x x k ++-=有一个根为零；……………………3分
当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根； ……………………4分
当3k =时，方程2
2410x x k ++-=有两个非零的整数根.
综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．……………5分
大兴区
20. 已知关于x 的一元二次方程01632=-+-k x x 有实数根，k 为负整数．
（1）求k 的值；
（2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根．
20.解：（1）根据题意，得Δ=(－6)2－4×3（1－k ）≥0．
解得2≥-k ．……………………………………………………………1分
∵k 为负整数，∴k =－1，－2．……………………………………… 2分
（2）当1=-k 时，不符合题意，舍去； ………………………………… 3分
当2=-k 时，符合题意，此时方程的根为121==x x ．………… 5分
平谷区
20．关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）当k 为正整数时，求此时方程的根．
20．解：（1）∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．
∴()2Δ2410k =--> ····················· 1 =8－4k >0.
∴2k < (2)
（2）∵k 为正整数，
∴k =1． (3)
解方程220x x +=，得120,2x x ==-． (5)
怀柔区
20.已知关于x 的方程226990-+-=x mx m .
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的两个根分别为x 1，x 2，其中x 1>x 2，若x 1=2x 2，求m 的值.
20.(1）∵△=(-6m)2-4(9m 2
-9) ……………………………………………………………………1分
=36m 2-36m 2+36
5 =36>0.
∴方程有两个不相等的实数根……………………………………………………………2分
（2
）66332
m x m ±===±.……………………………………………………3分 ∵3m+3>3m -3,
∴x 1=3m+3,x 2=3m-3, …………………………………………………………………………4分
∴3m+3=2(3m -3) .
∴m=3. …………………………………………………………………………………………5分
延庆区
20．已知：∠AOB 及边OB 上一点C ．
求作：∠OCD ，使得∠OCD=∠AOB ．
要求：1．尺规作图，保留作图痕迹，不写做法；（说明：作出一个．．
即可） 2．请你写出作图的依据．
C B O A
20． （1）作图（略） ……2分
（2）到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；等边对等角. ……5分
顺义区
20．已知关于x 的一元二次方程()21260x m x m --+-=．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根是负数，求m 的取值范围．
20．（1）证明：∵()2
14(26)m m ⎡⎤∆=----⎣⎦
221824m m m =-+-+
21025
m m
=-+
()25
m
=-≥0…………………………………………………… 2分∴方程总有两个实数根．………………………………………………… 3分
（2
）解：∵
1(5)
2
m m
x
-±-
==，
∴
13
x m
=-，
22
x=．……………………………………………… 4分由已知得30
m-<．
∴3
m<．………………………………………………………………… 5分
6。