a11
f
xx
(
1 2
,1)
2e 0 , a22
f
yy
(
1 2
,1)
2e
0
,
a12
f
xy
(
1 2
,1)
0
，
且 D a11a22 a122
4e2
0 ，所以， f (x, y) 在 ( 1 ,1) 取极小值为 2
1e． 2
（5）令
f f
x y
(x, (x,
y) y)
cos x sin
y
时， f (x, y) 0 ，而 y x 1时 f (x, y) 0 ，因而在 y x 1的点处， f (x, y) 取极小值
也是最小值 0 ．
（2）由
f f
x y
(x, (x,
y) y)
3ay 3ax
3x 2 3y2
0, 0,
解出稳定点为 (0,0) , (a, a) ．
在点 (0,0) ， a11 f xx (0,0) 0 ， a12 f xy (0,0) 3a ， a22 f yy (0,0) 0 ，这时，
3 2
3．
（6）令
f
x
(
x,
y)
2x(
x 2 y 2 1)
f y (x, y) 2 y( x 2 y 2 1)
x 2 y 2 0 , 解得稳定点为 x 2 y 2 1 上 x2 y2 0 ,
的所有点，而 P1 (0,0) 是导数不存在的点． 由于 f (x, y) 在圆周 x2 y 2 1 上的点取值 0，而 f (x, y) 0 ，故 f (x, y) 在圆周
x 2 y 2 1 上的点取极小值也是最小值 0 ，而在 P1 (0,0) ， f (x, y) ( x 2 y 2 1)2 1 f (0,0) ， x2 y2 2 ，
因而 P1 (0,0) 是极大值点，极大值为1． 2．已知 y ax 2 bx c ，观测得一组数据 (xi , yi ) , i 1, 2 , , n ，利用最小二乘法，
a11
4a 3a
0,
a12
2 3
,
a22
4b 3a
且D
a11a22
a122
4 0，
故 f (x, y) 在点 P2
(
a, 3
b ) 取极大值 3
3 ab ． 9
在3
a11
4a 3a
0,
a12
2 3
,
a22
4b 3a
且D
a11a22
a122
4
0，
故
f
(x, y) 在点 P3
sin( x sin(
x
y
) y)
0
, 0
,
解得稳定点为 ( , ) ．
36
a11
f xx ( 3
,) 6
3
0 , a22
f yy ( 3
,) 6
3 0 , a12
f xy ( 3 , 6 )
3
，
2
且D
a11a22
a122
9 4
0 ，故
f
(x,
y) 在(
3
, ) 取极大值为 6
c
yi )xi
0，
f
c
n
2
i 1
(axi2
bxi
c
yi )
0，
即系数 a, b, c 所满足的三元一次方程组为
n
a
n
xi4 b
n
xi3 c
xi2
n
xi2 yi ,
i1
i 1
i 1
第十八章 极值与条件极值
§1 极值与最小二乘法
1．求下列函数的极大值点和极小值点：
（1） f (x, y) (x y 1)2 ；
（2） f (x, y) 3axy x3 y 3 (a 0) ；
（3） f (x, y) xy
1
x2 a2
y2 b2
；
（4） f (x, y) e2x (x y 2 2 y) ； （5） f (x, y) sin x cos y cos(x y) （ 0 x , y ）；
，
P3
(
a , 3
b) 3
，
P4
(
a, 3
b) 3
，
P5
(
a , 3
b )． 3
在 点 P1 (0,0) ， f xx (0,0) f yy (0,0) 0 , f xy (0,0) 1 且 D 0 ， 故 f (x, y) 在 点
P1 (0,0) 不取极值．
在点 P2
(
a, 3
b ) ，有 3
故 f (x, y) 在 (a, a) 取极大值 f (a, a) a3 ．
f
x
(
x,
y
)
（3）令
x(1
x2 a2
y2 b2
)
f y (x, y)
y(1
x2 a2
y2 b2
)
1
x2 a2
y2 b2
0,
1
x2 a2
y2 b2
0,
解得稳定点为
P1 (0,0)
，
P2
(
a, 3
b) 3
(
a , 3
b ) 取极小值 3
3 ab ． 9
在点 P4
(
a, 3
b ) ，有 3
a11
4a 3a
0,
a12
2, 3
a22
4b 3a
且D
a11a22
a122
4
0，
故 f (x, y) 在点 P4 (
a, 3
b ) 取极小值 3
3 ab ． 9
在点 P5
(
a , 3
b ) ，有 3
a11
求系数 a, b, c 所满足的三元一次方程组．
n
解 记 f (a, b, c) (axi2 bxi c yi )2 ，为求其最小值，分别对 a, b, c 求偏导数， i 1
并令它们等于 0 ，即
f
a
n
2
i 1
(axi2
bxi
c
yi )xi2
0，
f
b
n
2 (axi2
i 1
bxi
4a 3a
0,
a12
2 3
,
a22
4b 3a
0且D
a11a22
a122
4 0，
故 f (x, y) 在点 P5 (
a , 3
b ) 取极大值 3
3 ab ． 9
（4）令
f f
x y
(x, (x,
y) y)
e2x (1 2x 4 y 2e2x (1 y) 0
,
2
y
2
)
0
,
解得稳定点 ( 1 ,1) ．而 2
D a11a22 a122 9a 2 0 ，
故 (0,0) 不是极值点．在点 (a, a) ，
a11 f xx (a, a) 6a ， a12 f xy (a, a) 3a ， a22 f yy (a, a) 6a ， D a11a22 a122 27a 2 0 ， a11 6a 0 ，
2 （6） f (x, y) ( x 2 y 2 1)2 ．
解（1）由
f f
x y
( (
x, x,
y) y)
2( x 2(
y x
1) 0 y 1)
, 0
,
解得稳定点为
y x 1．
而 f xx 2 ， f xy 2 ， f yy 2 ．
由于 D 0 ，故不能用极值的充分条件判断 f 是否在稳定点取极值，但由于当 y x 1