′ O 全等三角形全章练习1.如图所示，△AB C ≌△ADE ，BC 的延长线过点E ，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF 的度数 35 。

2.如图，△AOB 中，∠B=30°，将△AOB 绕点O 顺时针旋转52°得到△A ′OB ′边A ′B ′与边OB 交于点C （A ′不在OB 上），则∠A′CO 的度数为 82 。

3．如图所示，在△ABC 中，∠A=90°，D,E 分别是AC,BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC,则∠C 的度数是 30 。

4.如图所示，把△ABC 绕点C 顺时针旋转35°，得到△A ′B ′C,A ′B ′交AC 于点D ，若∠A ′DC=90°，则∠A= 55 。

5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC,AC=DB ，已知∠ABC=60°，求∠ADC 的度数。

1206．已知，如图所示，AB=AC,AD ⊥BC 于D,且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm,则AD= 15 .157．如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,分别过点B ，C,作过点A 的直线的垂线BD,CE,垂足为D,E ，若BD=3，CE=2,则DE= 5 .8．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别是E,F ，连接EF,交AD 于G,AD 与EF 垂直吗？证明你的结论。

C BD CFA E G AB DCD A ECB因为AD是△ABC的角平分线所以∠BAD=∠CAD;因为DE⊥AB,DF⊥AC所以∠DEA=∠DFA=90°;AD为公共边;所以ΔADE和ΔADF全等(AAS)所以AE=AFΔAEF为等腰三角形所以AD⊥EF(等腰三角形三线共线)1.如图，已知△ABC中，延长AC边上的中线BE到G，使EG=BE，延长AB边上的中线CD到F，使DF=CD,连接AF,AG.(1)补全图形(2)AF于AG的大小关系如何？证明你的结论。

(3)F,A,G三点的位置关系如何？证明你的结论。

因为AD=BD, CD=FD 角ADF=角BDC所以三角形ADF全等于三角形BDC所以AF=BC同理可得AG=BC所以 AF=AG因为三角形ADF全等于三角形BDC所以角FAB=角A=CBD所以AF//BC同理可得 AG//BC所以FAG在同一直线上2.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB,垂直分别为D,E,AD,CE交于点H，已知EH=EB=3,AE=4,求CH的长。

AD ⊥BC ，∴∠EAH+∠B=90°，∵CE ⊥AB ，∴∠EAH+∠AHE=90°，∴∠B=∠AHE，∵EH=EB ，∴△AEH ≌△CEB ，∴CE=AE ，∵EH=EB=3，AE=4，∴CH=CE-EH=4-3=1．3.已知，如图，AB=AE, ∠B=∠E, ∠BAC=∠EAD, ∠CAF=∠DAF.求证：AF ⊥CD4.如图，AD=BD,AD ⊥BC 于D,BE ⊥AC 于E,AD 于BE 相交于点H ，则BH 与AC 相等吗？为什么？5．△DAC, △EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N,求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN 为等边三角形（4）MN ∥BCBAE HD C6．如图，在△ABC 中，∠B=60°，AD,CE 是△ABC 的角平分线，且交于点O.求证：AC=AE+CD在AC 上取点F ，使AF=AE∵AD 是角A 的平分线∴角EAO ＝角FAE∵AO=AO∴三角形AEO 与AFO 全等（两边夹角相等）∴EO=FO ，角AOE ＝角AOF∵CE 是角C 的平分线∴角DCO ＝角FCO∵角B ＝60°∴角A+角C ＝180－60＝120°∴角COD=角CAO ＋角OCA ＝角A/2＋角C/2＝60度∴角OCF ＝180－角AOF-角COD ＝180－60－60＝60°C B AEB D C∴角OCF ＝角COD∵OC=OC∴三角形OCD 与CFO 全等 （两边夹角相等）∴CF=CD∴AC=AF+CF＝AE+CD即：AE+CD=AC7．如图，在△ABC 中，M 是BC 中点，AN 平分∠BAC,AN 垂直BN 于N ,已知AB=10,AC=16,求MN 的长。

（中位线：连接三角形两边中点的线段，平行且等于第三边的一半）解：延长BN ，交AC 于点D∵∠AND=∠ANB=90°，∠DAN=∠BAN，AN=AN∴△ADN≌△ABN∴AD=AB=10，DN=BN∴CD=16-10=6∵M 是BC 中点∴MN 是△BCD 的中位线∴MN=1/2CD=38．在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC,M 是AC 边上的中点，AD ⊥BM 交BC 于D,交BM 于E.求证：∠AMB=∠DMC作AG 平分∠BAC 交BM 于G∵∠BAC=90°∴∠CAG= ∠BAG=45° AB NC M B AEM CD∵∠BAC=90° AC=AB∴∠C=∠ABC=45°∴∠C=∠BAG∵AE⊥BM∴∠ABE+∠BAE=90°∵∠CAD+∠BAE=90°∴∠CAD=∠ABE∵ AC=AB∴△ACD ≌△BAG∴CD=AG∵∠C=∠MAG =45° CM=AM∴△CMD ≌△AMG∴∠DMC=∠AMB1．已知如图所示，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD,DP ⊥AB 于P,DP=3,求四边形ABCD 的面积。

2.△ABC 内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P ，Q 分别在边BC,CA 上，并且AP,BQ 分别是∠BAC , ∠ABC 的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP3.已知D 是△ABC 的边BC 上一点，且CD=AB, ∠BDA=∠BAD,AE 是△ABD 的中线。

求证：AC=2AEA P BC DAB P CQ解：∴取边AC 上的中点F ，连接DF∵∠BDA=∠BAD∴△ABD 是等腰三角形∴AB=BD∵CD=AB∴D 是BC 的中点∴DF‖AB∴∠B=∠FDC DF=1/2 AB=BE∴△ABE∽△CDF∴CF=AE又∵AC =2CF∴AC=2AE4.已知：BD ，CE 是△ABC 的高，点F 在BD 上，BF=AC,点G 在CE 的延长线上，CG=AB.求证:AG ⊥AF B E D CA5．如图所示，在△ABC 中，∠ABC=110°，∠ACB=40°，CE 是∠ACB 的角平分线，D 是AC 上一点，若∠CBD=40°，求∠CED 的度数。

∠ABC=110°，∠CBD=40°，所以∠ABD=70°,∠ABC的外角也=70°；因为CE 是∠A CB 的角平分线，从E 点分别作到CA 、CB 、DB 的垂线，可证三条垂线相等，得出DE 是∠ADB 的平分线；所以DE 平行CB,∠CED=∠ECB=20°6.如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且∠DAE=∠FAE.求证：AF=AD+CF解：已知：ABCD 是正方形，点E 是边CD 的中点，∠DAE=∠FAE做辅助线EG 垂直于AF ，点G 在AF 上，则EG 是△AEF 的高因为：△ADE 和△AEG，AE=AE ，∠DAE=∠FAE，∠AGE=∠ADE=90°所以：，∠AEG=∠AED，在直角三角形中一边和两角相等，两个三角形全等所以：△ADE 和△AEG 全等所以：AD=AG ，DE=EGA D CBEA B C ED C点E 是CD 中点，则DE=EC所以：DE=EC=EG ，在△EGF 和△ECF 中EC=EG ，EF=EF ，∠EGF=∠ECF=90°在直角三角形中两边相等，那么两个三角形全等。

得到：△EGF 和△ECF，所以：GF=CFAF=AG+GF=AD+CF7．已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,AE 是过点A 的一条直线，且BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E,(1)当直线AE 处于如图①的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由；（2）当直线AE 处于如图②的位置时，则BD,DE,CE 的关系如何？请说明理由；（3）归纳（1）（2），请用简洁的语言表达BD,DE,CE 之间的关系。

①解：（1）在△ABC 中,∠BAC=90°，∴∠BAD＝90°-∠EAC。

又∵BD⊥AE 于D ，CE⊥AE 于E ，∴∠BAD＝90°-∠EAC=∠A CE 。

而AB=AC ，于是△ABD 全等于△CAE，BD=AE,AD=CE 。

因此，BD=AE=AD+DE=DE+CE 。

（2）DE=BD+CE 。

理由：与（1）同理，可得△ABD 全等于△CAE，于是BD=AE,CE=AD ，DE=AE+AD=BD+CE 。

（3）当直线AE 与线段BC 有交点时，BD=DE+CE ；BC E AD C当直线AE 交于线段BC 的延长线上时，DE=BD+CE 。

②1.如图所示，已知△ABC 中，AB=AC,D 是CB 延长线上一点，∠ADB=60°，E 是AD 上一点，且DE=DB,求证：AE=BE+BC做AF 垂直于BC ，AB=BC ，等腰三角形性质，F 是BC 中点因为角D 为60度，所以2*DF=AD2DB+2BF=AE+ED2DB+BC=AE+ED因为DE=DB ，角D 为60度，所以三角形DEB 是等边三角形所以DB+BC=AEBE+BC=AE2．如图所示，∠BAC=90°，AB=AC,AE 是过A 的一条直线，B,C 在AE 的异侧，BD ⊥AE 于D,C, CE ⊥AE 于E,求证：BD=DE+CE3.如图所示，已知，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ,且有BF=AC,FD=CD.求证：BE ⊥AC AD EB C ABDEC1）证明：∵AD⊥BC（已知），∴∠BDA=∠ADC=90°（垂直定义），∴∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互余）.在Rt△BDF 和Rt△ADC 中，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（H.L ）.∴∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）.∵∠1＋∠2=90°（已证），所以∠1＋∠C=90°.∵∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形内角和等于180°），∴∠BEC=90°.∴BE⊥AC（垂直定义）；4.如图所示，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F, △ABC 的面积是28cm 2,AB=20cm,AC=8cm,求DE 的长。