教育科研中的统计方法——Z检验和t检验
乌海市海勃湾区教研室王根运
通常我们用平均分比较两个班的成绩的优劣是不妥的。
即某次考试中初二、二班数学成绩平均分低于初二、五班的平均分，不一定说明初二、二班数学真实成绩比初二、五班的差。
这是因为一个班的的平均成绩具有统计意义，存在抽样误差，其平均成绩在一定范围内波动，假如再进行一次考试也许初二、二班数学成绩平均分高于初二、五班的平均分。
所以比较成绩时应用平均数差异的显著性检验更科学。
统计学中平均数差异的显著性检验时规定一个显著性水平，经过检验所得差异超过这个显著性水平，表明这个差异不属于抽样误差，确实存在差异，反之属于抽样误差。
这个平均数差异的显著性检验在教育科研统计中总结为Z检验或t 检验。
一般地样本容量大于30时，用Z检验；样本容量小于30时，用t检验。
当问题所给的条件用t检验方便时，样本容量虽然大于30，也可以用t检验。
下面是样本容量大于30时的Z检验和样本容量小于30时的t检验案例。
一、样本容量大于30时的Z检验
案例：比较初三第一学期期末实验班和对比班的化学成绩
表1、初三、八班（实验班）第一学期期末化学成绩表
表2、初三、七7班（对比班）第一学期期末化学成绩表
时间：2010年1月
实验班和对比班学生人数均为52，样本容量大于30，用Z 检验看实验班和对比班成绩有无显著性差异（用计算机处理）。
实验班：初三、八班,据表1,样本容量：n 1=52,平均分：1X =
1
1
n X
∑=69.84
每个学生分数与平均分离差的平方和：∑21d ==-∑211)(X X 13243.86 标准差：S 1=
1
2
1n d ∑
=15.96
对比班：初三、七班，据表2，样本容量：n 2=52, 平均分 ：2
X =
2
2
n X ∑=66.92
每个学生分数与平均分离差的平方和：∑2
2d ==-∑222)(X X 7967.19
标准差：S 2=
2
2
2
n d ∑
=12.38, Z=
2
22
121
21n S n S X X +-=1.043
Z 检验的判断方法： 0＜Z ＜1.96时，两个班的成绩无显著性差异；1.96＜Z ＜2.58时，两个班的成绩成绩有显著性差异。
本题0＜Z=1.043＜1.96，所以：实验班和对比班化学成绩无显著性差异。
点评：初三、八班（实验班）第一学期期末化学成绩表平均分
1
X =
1
1
n X ∑=69.84，初三、七班（对比班）第一学期期末化学成绩表平均分
2
X =
2
2
n X ∑=66.92。
虽然X —1〉X —
2，但不能说明初三、八班（实验班）比初三、七
班（对比班）的化学成绩好，这是抽样误差导致的结果。
事实上根据上面平均数
差异的显著性检验得出结论：两个班第一学期期末化学成绩无显著性差异。
二、相关样本，容量小于30的t 检验
同一批学生在实验前后进行两次测试得到两次成绩，若把这两次成绩看成两个样本的话，则这两个样本之间相互不是独立的，称为相关样本。
案例：王老师在初二、三班进行《语文口头作文对语文成绩影响的实验研究》，他每节课用10分钟的时间让学生进行口头小作文比赛，实验前进行一次语文成绩测试，随机抽取10名学生语文成绩（实验前成绩）记录如表，一个学期后用同样难度的试题又进行测试记录这10名学生的语文成绩（实验后成绩）记录如表。
该案例是相关样本，样本容量为10，小于30，用相关样本的t 检验看实验前和实验后初二、三班随机抽取10名学生语文成绩有无显著性差异（用计算机处理）。
样本1（实验前）成绩总和∑X 1=710 样本2（实验后）成绩总和∑X 2=795
d =∣2X -1
X ∣=∣n X X 2
1
∑∑-∣=∣10
795710-∣=8.5
样本1（实验前）和样本2（实验后）第i 个学生成绩差：d=X 2-X 1
∑d 2=∑-）（X X 122
=1267
（∑d ）2=85
t=
)
1()
(0
2
2
--
-∑∑n n n d d
d =
()
110101085126705.82
---=3.456
若显著性水平α定为0.05，根据df=n-1=10-1=9查t 表：t α/2=2.262。
因为t=3.456> t α/2说明实验后学生的成绩有显著的提高。
点评：初二、三班实验前语文成绩表平均分1X =
1
1
n X
∑=71，初二、三班实
验后语文成绩表平均分2
X =
2
2
n X ∑=79.5。
虽然X —1<X —
2，但不能说明初二、三班实
验后比实验前的语文成绩好，上面平均数差异的显著性检验具有科学依据，得出的结论（两次成绩存在显著性差异）才符合事实。
即初二、三班实验后比实验前的语文成绩好。
三、不同样本，容量小于30的t 检验
案例：比较初二、一班和初二、二班第二学期期末物理成绩
表1、初二、一班第二学期期末物理物理成绩表
表2、初二、二班第二学期期末物理成绩表
初二、一班和初二、二班学生人数分别为27和29，样本容量小于30，用t
检验看两个班成绩有无显著性差异（用计算机处理）。
初二、一班：均分： 1
X =
1
1
n X ∑=70.22
每个学生分数与平均分离差的平方和：∑21d ==-∑211)(X X 6620.67 初二、二班：均分：2X =
2
2
n X
∑=67.3
每个学生分数与平均分离差的平方和：∑2
2d ==-∑222)(X X 6004.21
t=
)1
1(
2
d 2
12122
2
1
2
1n n n n d
X X +-++-∑∑=
⎪
⎭
⎫
⎝⎛+-++-2912712292721.600467.66203
.6722.70=0.1746
自由度df=n 1+n 2-2=27+29-2=54，若取α=0.05，查t 值表，0＜t ≤2.014无显著差异，2.014＜t ≤2.670有显著差异。
上面计算的0＜t=0.1746≤2.014，说明初二、一班和初二、二班第二学期期末物理成绩无显著差异。
点评：初二、一班第二学期期末物理成绩平均分1X =
1
1
n X
∑=70.22，初二、
二班第二学期期末物理成绩平均分2
X =
2
2
n X ∑=67.3。
虽然X —
1〉X —
2，但不能说明
初二、一班比初二、二班的物理成绩好，这是抽样误差导致的结果。
事实上根据
上面平均数差异的显著性检验得出结论：两个班第二学期期末物理成绩无显著性差异。
参考书目
1、佟庆伟，教育科学中量化，中国科学技术出版社，1997。
2、王孝玲，教育测量，华东师范大学出版社，1989。