产品的生产；减少乙产品的产量。这时又增加了二个目 标，则可建立如下的模型：
maxZ1=5x1+4x2 maxZ2=x1 minZ3=x2 4x1+3x2 ≤24 x1，x2 ≥0
4
这些目标 之间相互矛盾， 一般的线性规划 方法不能求解
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第一节
多目标线性规划
二、求解思路
5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24 x1 +d3- - d3+ = 3 - x1 + x2 +d4-- d4+ = 2
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第二节 目标规划的数学模型
• 目标达成函数
各个目标函数引入正、负偏差变量，而被列入了目标约束条件。 如何使各目标的实际值最接近于各自的期望值，构造一个新的 目标函数以求得有关偏差变量的最小值。 这个新的目标函数反映了各目标函数的期望值达到或实现的情 况，故把这个新的目标函数称为目标达成函数。
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第二节 目标规划的数学模型
• 目标约束
引入正、负偏差变量后，对各个目标建立的目标函数方程。
ckj x j d k d k E * j 1 n
原来的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约束(软约束) 原来的约束条件称为系统约束(硬约束)。 上例中，管理部门提出新要求：第一个目标是实现利润最大，计划 部门规定利润目标是20；第二个目标是充分利用设备台时，但尽量 少加班；第三个目标做如下规定，甲产品产量希望不少于3单位， 乙产品产量比甲产品多2单位。对各目标函数引入正、负偏差变量：
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第三节 目标规划的解法
cj
XB d1d2d3d4b 20 24 3 2 0 x1 5 4 1 -1 0 x2 4 3 0 1 - P1 d11 0 0 0 0 d1+ -1 0 0 0 - P2 - P2 d2- d2+ 0 0 1 -1 0 0 0 0
- 3P2
0 0 1 0 4 3 0 1 1 0 0 0
-P1
0
-2P2
0
-3P3
0
-5P3 0 0 0 1 0 -5P3 0 0 0 -1 1 3 -
-1 0 0 0 -P1
0 1 0 0 0
0 -1 0 0
-5 -4 1 1
5 4 -1 -1
检验数j
0 +4 P1 0 +3 P2 +5 P3
-5 P1 +5 P1 -2P2 -4 P2 +4 P2 +2 P3 -5 P3
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第二节 目标规划的数学模型
二、目标规划的数学模型
min Z Pk ( wkl d l wkl d l ) k 1 l 1 K Lk
绝对约束 目标约束 非负性约束
a x
j 1 ij n j 1
n
j
(, )bi
i 1,2,...,m k 1,2,...,K
CB - P1 - P2 - 3P3 - 5P3
d30 0 1 0
0 d3+ 0 0 -1 0
- 5P2
d40 0 0 1
0 d4+ 0 0 0 -1
值 4 5 3 -

检验数j
- P1 - P2 0 - 5P3 d1d2x1 d45 12 3 5
+5 P1 +4 P1 0 +4 P2 +3 P2 -2 P3 +5 P3
首先是在可行域内寻找一个使P1级各目标均满足的区域R1； 然后再在R1中寻找一个使P2级各目标均满足的区域R2(R2R1)； 接着再在R2中寻找一个满足P3级各目标的区域R3(R3 R2 R1)； 如此继续，直到寻找到一个区域RK(RK RK-1 … R3 R2 R1)， 满足PK级各目标，这时RK即为这个目标规划的最优解空间，其 中的任一点均为这个目标规划的满意解。
minZ= P1 d1- + P2(d2- + d2+ ) + P3(3d3- +5 d4- ) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24 x1 +d3- - d3+ = 3 - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0
第一节
多目标线性规划
一、问题的提出
• 多目标线性规划
含有多个优化目标的线性规划。 线性规划模型只能有一个目标函数，可称为单目标线性规划。 多目标线性规划模型具有两个或两个以上的目标函数。
• 例题
某工厂计划生单位产品的利润如表所示。试确定计划期内 的生产计划，使获得的利润最大。
• 若要求尽可能达到规定的目标值，则正、负偏差变量dk+、dk-
都 尽 可 能 最 小 ， 将 dk+ 和 dk- 都 列 入 目 标 函 数 中 ， 即 minSk=dk++dk- ； • 若希望尽可能不低于期望值(允许超过)，则负偏差变量dk- 尽 可能的小，而不关心超出量dk+ ，故只需将dk- 列入目标函数， minSk= dk- ； • 若允许某个目标低于期望值，但希望不得超过期望值，则正 偏差变量dk+ 尽可能地小，而不关心低于量dk- ，故只需将dk+ 列入目标函数，minSk= dk+ 。
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第三节 目标规划的解法
• 目标规划的图解法的步骤 首先，按照绝对约束画出可行域， 其次，不考虑正负偏差变量，画出目标约束的边界线， 最后。按优先级别和权重依次分析各级目标。 minZ=P1 d1-+P2(d2-+d2+)+P3(3d3-+5d4-) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 ① x2 - - d += 24 ② 4x1+3x2 +d2 2 ②B ③ d4+ ④ x1 +d3- - d3+ = 3 ③ - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 ④ d4d3+ d3x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0 ⑤ ①
• 加权系数法
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模 型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重 要程度。
•
优先等级法
将各目标按其重要程度分成不同的优先等级，转化为单目标模 型。
•
有效解法
寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策 者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目 太多而难以将其一一求出。
* ckj x j d k d k Ek
x j , d k , d k 0
j 1,2,...,n
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第三节 目标规划的解法
一、目标规划的图解法
• 只含有两个决策变量的目标规划模型 • 线性规划是在可行域中寻找一点，使单个目标极大或极小； 目标规划则是寻找一个区域，这个区域提供了相互矛盾的目 标集的折衷方案。 • 目标规划的图解法的思路
资源 设备 单位产品利润
产品
甲
4
5
3
乙
3
4
现有资源
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第一节
多目标线性规划
解： 设x1 、 x2 分别表示甲、乙两种产品的产量，则可建立
线规划模型如下：
maxZ=5x1+4x2 4x1+3x2 ≤24 x1，x2 ≥0
假设：该工厂根据市场需求或合同规定，希望尽量扩大甲
管理运筹学
谢家平 博士 副教授
研究领域：系统建模与优化、生产与运作管理、物流与供应链管理
讲授课程：管理运筹学、管理系统工程、生产运作管理、
供应链管理、企业资源计划、国际物流管理、 企业物流管理、管理决策模型与方法
单
位：上海财经大学国际工商管理学院供应链管理研究中心
E-mail：jiaping_xie@
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第二节 目标规划的数学模型
• 优先等级和权数
目标的重要程度不同，用优先等级因子Pk 来表示第k等级目标。 优先等级因子Pk 是正的常数，Pk >> Pk+1 。 同一优先等级下的目标的相对重要性，赋以不同的加权系数w。 • 例如
第一个目标是实现利润最大，其优先级为P1 ； 第二个目标是充分利用设备台时，但尽量少加班，其优先级为P2 ； 第三个目标：甲的产量不少于3，乙的产量比甲多2，优先级为P3 。 假设： • 甲产品产量希望不少于3单位的权数为3， • 乙产品产量比甲产品多2单位的权数为5。
minZ=P1 d1-+P2(d2-+d2+)+P3(3d3-+5d4-) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+= 24 x1 +d3- - d3+ = 3 - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0 • 划为标准型 maxZ=-P1 d1--P2(d2-+d2+)-P3(3d3-+5d4-) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24 x1 +d3- - d3+ =3 - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0