提起，因此在本例中，A的补集A＇即为X－A.令
Tf {U P ( X ) | U 是X的一个有限子集} {}
即 T f {U X | X U是X的一个有限子集} {}
先验证Tf 是X的一个拓扑.
(1) 根据定义 Tf ,此外，由于 X X ,
因此 X Tf .
(2) 设 A, B Tf ，若A 或者 B ，则
定义2.1.1 设X是一个集合,T P (X )(P(X )表示X的幂 集),即T 是X的一个子集族.如果T 满足如下条件: (1) X , T ;
(2) 如果 A, B T，则A B T ；
(3) 若T1 T ,则 AT1 A T1 . 则称 T是X的一个拓扑.
设T 是X的一个拓扑，由于T 中的每一个元素是拓
于T1 和T2 的最细的拓扑.
例如，下面的两个X的子集族就不是X的拓扑.
A1={{a},{b},X, } A2={{a,b},{b,c},X, }
A 1不满足定义2.1.1条件(3), A2不满足定义2.1.1条件(2) 例2.1.4 有限补拓扑 设X是一个集合，首先注意，当我们考虑的问题 中的全集自明时，在求补集运算时我们并不每次
例2.1.1 平庸空间
设 X 是一个集合，令T {X , }，易验证T
是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑，并且我们
称拓扑空间(X,T )为一个平庸空间.显然在平庸空
间中只有两个开集，即X自身和空集 .
例2.1.2 离散空间
设X是一个集合,令 T P (X ),显然,T 是X的一 个拓扑, 称之为X的离散拓扑,并且称拓扑空间(X,T )
第二章 拓 扑 空 间
❖§2.1 拓 扑 空 间 ❖§2.2 拓扑基与邻域系,邻域基 ❖§2.3 度 量 拓 扑 ❖§2.4 闭集,闭包 ❖§2.5 导集,内 部, 边 界 ❖§2.6 拓扑空间中的序列
❖§2.7序 拓 扑
§2.1 拓 扑 空 间
❖ 重点：拓扑空间定义的理解 ❖ 难点：拓扑空间定义的理解
4. (1)设T1和T2 是集合X上的两个拓扑,证明T1 T2 也是X的
拓扑.
(2) 举例说明T1 T2 可以不是X上的拓扑，其中T1，T2是
X上的两个给定拓扑.
(3) 设 X {a,b,c}，T1 {, X ,{a},{a,b}},
T2 {, X ,{a},{b, c}}找出包含T1和T2的最粗的拓扑和包含
A B T f ；假定 A , B ，由De Morgan 定律 X (A B) (X A) (X B)以及 X A, X B
为有限集可知 X ( A B) 是有限集，因此A B Tf .
(3) 设T1 Tf ,如果T1 ,则 A Tf . AT1
如果 T1 ,当 T1 {}时, A Tf ; AT1
习 题 §2.1
1. 验证例2.1.5中集族Tc是X上的拓扑.
2. 对每一个正整数 n Z ，令 An {m Z | m n}，证明 T {An | n Z} {}是正整数集Z+的一个拓扑.
3. 设(X, T )是一个拓扑空间, 是任何一个不属于X的元素,
令X X {}, T T {X },证明 ( X ,T )是一个拓扑空 间.
为一个离散空间,在离散空间中, X的每一个子集都
是开集.
例2.1.3 设X是一个三元素集合, X {a,b,c},我
们 X上可以构造不同的拓扑,下面我们介绍其中一些
拓扑.
T1 {, X}
T2 {{a},{a,b}, X ,}
T3 {{b},{a,b},{b,c}, X ,} T4 {{b}, X ,}
读者不难验证,有限集X的有限补拓扑是X的离散拓扑,
பைடு நூலகம்
即若X是一个有限集,那么Tf P(X ).
例2.1.5 可数补拓扑.
设X是一个集合，令TC ={U X|X-U是X的一个可数
子集} { }通过与例2.1.4中完全类似的作法易验
证T 是X的一个拓扑(留作习题),称之为X的可数补拓 扑,拓扑空间(X,TC )称为一个可数补空间. 读者自行验证，若X是一个可数集，则TC P(X ).
即可数集合X的可数补拓扑是X的离散拓扑.
定义2.1.2 设T, T '是集合X上的两个拓扑 ,如果 T T ,'我们称T '比T 细, 或称T 比T '粗,如果T T ', 我们称T ' 比T 严格细,或称T 比 T ' 严格地粗.如果 T T ',或T ' T, 我们称拓扑T 与 T '是可比较的.
否则，就称为不可比较的.
显然，对于集合X来讲，粘合扑拓T ={X, }是X 上最粗的拓扑，离散拓扑T =P (X)是X上最细的拓扑.
当然，同集合上不可比较的拓扑是存在的，例如
X {a,b, c},T1 {{a},{a,b}, X ,} ,T2 {{b},{b, c}, X , }，那么 T1与 T2 就是X的两个不可比较的拓扑.
扑空间X中的开集，因此拓扑空间X的定义可以理 解为：一个集合X的拓扑是X的一个开集族满足条件：
(1) X , 是开集
(2) 任意两个开集的交集是开集 (3) 任何开集族的并是开集.
T P (X ) 是X的拓扑的条件可以叙述为:
(1) X的任意有限开集族的交是开集.
(2) X的任意开集族的并是开集.
T5 {{a}, {b, c}, X , }
T6 {{b}, {c}, {a, b}, {b, c}, X , }
T7 {{a, b}, X , }
T8 {{a},{b},{a,b}, X ,}
T9 P ( X )
当然，通过对以上拓扑中a,b,c的不 同排列，我们在X上还可建立其它拓
扑结构.但是,并不是X的每个子集族 都是X的拓扑.
当 T1 {}时, T1 {} ,取 A0 T1 {} ,这时
X
AT1
A
(X
AT1
A)
X
A0
. 由于 A0
Tf
且
A0
，
因此 X A0 是有限集，从而 X A 是有限集，因
此 ATf.
AT1
AT1
根据上述(1),(2),(3),Tf 是X的一个拓扑,称之为X的有
限补拓扑,拓扑空间(X, Tf )称为一个有限补空间.