高考概率分布类型题归纳文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]经典高考概率分布类型题归纳 高考真题一、超几何分布类型 二、二项分布类型三、超几何分布与二项分布的对比 四、古典概型算法五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类） 六、综合算法 高考真题 2010年22、（本小题满分10分）（相互独立事件）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。

生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。

设生产各种产品相互独立。

（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。

满分10分。

（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且 P （X=10）=×=， P （X=5）=×=， P （X=2）=×=， P （X=-3）=×=。

由此得X 的分布列为：（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件。

由题设知4(4)10n n --≥，解得145n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =。

所求概率为33440.80.20.80.8192P C =⨯⨯+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为。

（2012年）22．（本小题满分10分）（古典概型）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=．（1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．【命题意图】本题主要考查概率分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力. 【解析】（1）若两条棱相交，则交点必为正方形8个顶点中的一个，过任意一个顶点恰有3条棱，∴共有238C 对相交棱， ∴(0)P ξ==232128C C =411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1的共有6对，故(P ξ==2126C =111, (1)1(0)(P P P ξξξ==-=-==4111111--=611. ∴随机变量ξ的分布列是∴6161111111E ξ+=⨯+=. （2014江苏）（古典概型）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E （X ）． （2017年）23．（本小题满分10分）已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X是X的数学期望，证明：()()(1)nE Xm n n<+-．试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为：11CCnm nnm nnpm n-+-+==+．（2）随机变量X的概率分布为X ……P ……随机变量X的期望为11C111(1)!()C C(1)!()!nm n m nkn nk n k nm n m nkE Xk k n k n-++-==++-=⋅=⋅--∑∑．所以1(2)!1(2)!()C(1)!()!(1)C(2)!()!m n m nn nk n k nm n m nk kE Xn k n n n k n++==++--<=-----∑∑11C(1)C()(1)nm nnm nnn m n n-+-+==-+-，即()()(1)nE Xm n n<+-．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)XB n p )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np )求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．一、超几何分布1.袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X 的分布列．【提示】 从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.P(X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P(X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P(X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P(X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求的分布列为肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2013年全年每天的监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：到一级的概率；（2）从这10天的数据中任取3天数据．记X表示抽到监测数据超标的天数，求X的分布列．【解析】（1）记“从10天的日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13·C27C310＝2140.（2）依据条件，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝k)＝C k3·C3－k7C310(k＝0,1,2,3)，所以P(X＝0)＝C03C37C310＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝740，P(X＝3)＝C33C07C310＝1120，因此X的分布列为n不放回地一次取一件，连续取n件”. 如果是有放回地抽取，就变成了n重伯努利试验，这时概率分布就是二项分布. 所以两个分布的区别就在于是不放回地抽样，还是有放回地抽样. 若产品总数N很大时，那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样.3.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列． 【解】 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P(B ＋C)＝P(B)＋P(C)＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，且P(ξ＝k)＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0,1,2,3.故P(ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P(ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P(ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P(ξ＝3)＝C 33C 39＝184，ξ的分布列为ξ 0123P二、二项分布1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的. （1）求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率； （2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（3）设4名参加保险人员中选择A 社区医院的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．2.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为X ，当这排装饰灯闪烁一次时：(1)求X ＝2时的概率； (2)求X 的数学期望．解 (1)依题意知：X ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故X ＝2时的概率P ＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝827.(2)法一 X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知P(X ＝k)＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫134－k(k ＝0,1,2,3,4)．∴X 的概率分布列为X 01234P∴数学期望E(X)＝0×18＋1×881＋2×881＋3×3281＋4×1681＝83.3.羽毛球A 队与B 队进行对抗比赛，在每局比赛中A 队获胜的概率都是P (01)P ≤≤. （1）若比赛6局，且P=23, 求A 队至多获胜4局的概率是多少 （2）若比赛6局，求A 队恰好获胜 3局的概率的最大值是多少(3) 若采用“五局三胜”制，求A 队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望. 解析：（1）设“比赛6局，A 队至多获胜4局”为事件A则[]66()1(5)(6)P A P P =-+=5566662221()(1)()333C C ---=2564731729729-=[来源:学。

科。

网Z 。

X 。

X 。

K]∴ A 队至多获胜4局的概率是473729(2)设“若比赛6局，A 队恰好获胜3局”为事件B ,则3336()(1)P B C p p =-当P=0或P=1时，显然有P(B)=0当0<P<1时；3336()(1)P B C p p =-=()3201p p -⎡⎤⎣⎦≤203212p p ⎡⎤+-⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=20615216⎛⎫= ⎪⎝⎭ 当且仅当11,2p p p =-=即时取等号.故A 队恰好获胜3局的概率的最大值是516（3）若采用“五局三胜”制，A 队获胜时的比赛局数ξ=3，4，53(3)P p ξ==；)1(3)1()4(3323p p p p C P -=-==ξ；232324(5)(1)6(1)P C p p p p ξ==-=-所以ξ的分布列为：（二项分布）有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依次任取3件，若X 表示取到次品的次数，则P （X=2）＝ 变式辨析：1. （超几何分布）有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若X 表示取到次品的件数，则P （X ）＝2. 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依次取件，第k 次取到次品的概率，则P （X ）＝3.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依次取件，第k 次取到次品的概率，则P （X ）＝4.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依次取k （6,5,4=k ）件，恰好取到3件次品时停止，概率P （X ）＝ 三、古典概型算法1.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个. （1）若甲、乙二人依次各抽一题，计算： ①甲抽到判断题，乙抽到选择题的概率是多少②甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少（2）若甲从中随机抽取5个题目，其中判断题的个数为X ，求X 的概率分布和数学期望.2.某校要进行特色学校评估验收，有甲、乙、丙、丁、戊五位评估员将随机去,,A B C 三个不同的班级进行随班听课，要求每个班级至少有一位评估员． （1）求甲、乙同时去A 班听课的概率；（2）设随机变量ξ为这五名评估员去C 班听课的人数，求ξ的分布列和数学期望． （分配问题，典型例题，选与排）解：（1）五名评估员随机去三个班级听课，要么一个班级有三个、其余两个班级各一个；要么两个班级各两个、另一个班级一个．故总共的听课可能性有332253533150C A C C +=种，其中甲乙同时去A 班听课的可能性有1212132223=+C C A C 种……………………2分所以所求概率为12215025p == ……………………4分 （2）ξ可取值为1，2，3，()156150221325=⋅⋅==C C P ξ，()15215031235===C C P ξ……………………8分从而ξ分布列为： ∴76251231515153E ξ=⨯+⨯+⨯= ……………………10分3.一个均匀的正四面体的四个面分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体底面上的数字分别为21,x x ，记2221)2()2(-+-=x x X . （1）分别求出X 取得最大值和最小值的概率；（2）求X 的概率分布及方差.解：ξ的取值为0，1，2，4，5，8，P （ξ=0）=，P （ξ=1）=4××=，P （ξ=2）=4××=，P （ξ=4）=2××=，P （ξ=5）=4××=，P （ξ=8）=，∴ξ的分布列为？∴ξ的数学期望E ξ=0×+1×+2×+4×+5×+8×=3。