以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器 更换的易损零件数发生的概率， 记 X 表示 2 台机器三年内共需 更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零 件数． (1)求 X 的分布列； (2)若要求 P(X≤n)≥0.5，确定 n 的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n＝ 19 与 n＝20 之中选其一，应选用哪个？
解：(1)由已知条件得 1 即 3 p＝1，则 p＝ . 3
32 1 3 1 C2× × · (1－p)＋ · p＝ 4 4
4

7 ， 16
(2)ξ 可能的取值为 0，1，2，3. 3 3 2 3 7 P(ξ＝0)＝ × × ＝ ；P(ξ＝1)＝ ； 4 4 3 8 16 1 1 2 1 3 1 1 1 P(ξ＝2)＝ × × ＋C2× × × ＝ ； 4 4 3 4 4 3 6 1 1 1 1 P(ξ＝3)＝ × × ＝ . 4 4 3 48 ξ 的分布列为
加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活 动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一人 猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队” 3 2 得 0 分．已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ； 4 3 每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影 响．假设“星队”参加两轮活动，求： (1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率； (2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列．
3． 某校组织由 5 名学生参加的演讲比赛， 采用抽签法决定 演讲顺序，在“学生 A 和 B 都不是第一个出场，B 不是最后一 个出场”的前提下，学生 C 第一个出场的概率为( )
1 1 1 3 A. B. C. D. 3 5 9 20 3 解析：选 A 当学生 A 最后一个出场时，有 A1 A 3 3＝18 种不同
9 3 10 5 2 ＝C11 .
8
8
2．某校要用三辆校车把教师从西校区送到东校区，已知从西 1 校区到东校区有两条公路，校车走公路①堵车的概率为 ，不堵车 4 3 的概率为 ；校车走公路②堵车的概率为 p，不堵车的概率为 1－ 4 p.若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②， 且三辆校车是否堵车相互之间没有影响． (1)若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为 堵车的概率； (2)在(1)的条件下，求三辆校车中被堵的辆数ξ 的分布列． 7 ，求走公路② 16
[典例]
(1)(2016· 合肥质检)某企业的 4 名职工参加职业技能
考核，每名职工均可从 4 个备选考核项目中任意抽取一个参加考 核，则恰有一个项目未被抽中的概率为 ( 9 A. 16 27 B. 64 81 C. 256 D. 7 16 )
[解析]
选A
由题意得，所有的基本事件总数为 44＝256，
[解析]
选D
1 记“y<x ”为事件 A， “x> ”为事件 B，所有 2
2
(x，y)构成的区域如图所示，
1 31 1 1 31 1 7 1 2 ∴S1＝ x dx＝ x |20＝ ，S2＝ x dx－S1＝ x |0－ ＝ ， 3 24 3 24 24
1
2
0
0
P（AB） 则所求概率为 ＝ P（A）
[演练冲关] 1．(2016· 全国甲卷 )某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯 交替出现，红灯持续时间为 40 秒．若一名行人来到该路口遇到 红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( 7 A. 10 5 B. 8 C. 3 8 3 D. 10 )
解析：选 B
如图，若该行人在时间段 AB
的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待 15 秒才出现绿灯．AB 长度为 40－15＝25，由几何概型的概率公式 25 5 知，至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 ＝ ，故选 B. 40 8
[典例]
(2016· 全国乙卷 )某公司计划购买 2 台机器，该种
机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时， 可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期 间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购买机 器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种 机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
[演练冲关 ] 1．一袋中有 5 个白球， 3 个红球，现从袋中往外取球， 每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现 10 次时停止， 设停止时共取了 X 次球，则 P(X＝ 12)等于(
10 3 10 5 2 A． C12
) 8
8
8
9 3 9 5 23 B． C12
3 的安排方法；当学生 A 不是最后一个出场时，有 A2 3A3＝36 种不同
的安排方法，所以满足“A 和 B 都不是第一个出场，B 不是最后一 个出场”的所有不同安排方法有 18＋36＝54 种．其中“C 第一个出 场”的结果有
3 A1 A 3 3＝18
18 1 种，则所求概率为 ＝ ，选项 A 正确. 54 3
题型专题(十八)
概率、随机变量及其分布列
——高考常考这些点，研透常考题型，考题千变难离左右
古典概型与几何概型 [师说考点]
1．古典概型的概率公式 m A中所含的基本事件数 P(A)＝ n ＝ . 基本事件总数 [说明 ] 求事件包含的基本事件数，常用计数原理与排列、组 合的相关知识． 2．几何概型的概率公式
3 2 1 1 1 1 3 2 12 1 P (X＝3)＝ × × × ＋ × × × ＝ ＝ ， 4 3 4 3 4 3 4 3 144 12 3 2 3 1 3 2 1 2 60 5 P (X＝4)＝2×( × × × ＋ × × × )＝ ＝ ， 4 3 4 3 4 3 4 3 144 12 3 2 3 2 36 1 P (X＝6)＝ × × × ＝ ＝ . 4 3 4 3 144 4 可得随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 6
8 8
5239 C． C9 11
8 8



解析：选 D
“X＝12”表示第 12 次取到红球，且前 11 次
3 9 39 52 有 9 次取到红球， 2 次取到白球， 因此 P(X＝12)＝ C118 ×8 8
7 ＝ ＝ ，故选 D. 1 7 8 ＋ 24 24
7 24
[类题通法 ] 1．利用古典概型求概率的关键及注意点 (1) 正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件 总数，这常常用到排列、组合的有关知识． (2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重 不漏．
2．几何概型的适用条件及应用关键 (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应 考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时， 关键是试验的全部结果构成的 区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系 中表示所需要的区域．
相互独立事件和独立重复试验
[师说考点] 概率类型 相互独立事 件同时发生 独立重复 试验 特点 事件互相独立 概率求法 P(AB)＝P(A)P(B) (A，B 相互独立)
k k P(X＝k)＝Cn p (1－p)n－k
一次试验重复 n 次
(p 为发生的概率)
[典例]
(2016· 山东高考节选)甲、乙两人组成“星队”参
1 5 25 1 5 1 P 144 72 144 12 12 4
[类题通法] 求复杂事件概率的 2 种方法 (1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为 几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的 积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解． (2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少， 则可利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题 往往也用这种方法求解．
若恰有一个项目未被抽中， 则说明 4 名职工总共抽取了 3 个项目，
1 2 2 符合题意的基本事件数为 C3 · C · C · A 4 3 4 2＝144，故所求概率 P
144 9 ＝ ＝ ，故选 A. 256 16
(2)(2016· 山西质检)某同学用计算器产生两个[0，1]之间 1 的均匀随机数， 分别记作 x， y.当 y<x2 时， x> 的概率是( 2 7 A. 24 1 B. 2 7 C. 12 7 D. 8 )
[解]
(1)记事件 A：“甲第一轮猜对”，记事件 B：“乙第一
轮猜对”， 记事件 C： “甲第二轮猜对”， 记事件 D： “乙第二轮猜对”， 记事件 E：“‘星队’至少猜对 3 个成语”． 由题意， 的加法公式和相互独立事件的定义可得， ＋ ，根据概率
2 所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为 . 3 (2)由题意，随机变量 X 可能的取值为 0，1，2，3，4，6. 根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得， 1 1 1 1 1 P(X＝0)＝ × × × ＝ ， 4 3 4 3 144 3 1 1 1 1 2 1 1 10 5 P (X＝1)＝2×( × × × ＋ × × × )＝ ＝ ， 4 3 4 3 4 3 4 3 144 72 3 1 3 1 3 1 1 2 1 2 3 1 1 2 P (X＝2)＝ × × × ＋ × × × ＋ × × × ＋ × 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 1 2 25 × × ＝ ， 4 3 144
2． 在三棱锥 SABC 内任取一点 P， 使得三棱锥 PABC 1 的体积满足 VP­ABC< VS­ABC 的概率是( 2 7 A. 8 3 B. 4 1 C. 2 ) 1 D. 4
解析：选 A
由题意知，三棱锥 SABC 与三棱锥 PABC
的底面相同， 设三棱锥 SABC 的底面面积为 S， 则三棱锥 PABC 1 1 1 h′ 的高 h 与三棱锥 SABC 的高 h′满足 Sh< × Sh′，所以 h< . 2 3 2 3 如图，点 P 位于棱台 A′B′C′­ABC 内，其中 A′，B′，C′分 1 别为 SA，SB，SC 的中点，易知棱台的上底面的面积 S′＝ S， 4 1 7 所以棱台的体积应为 VS­ABC－ VS­ABC＝ VS­ABC，故所求概率为 8 8 7 V 8 S­ABC 7 ＝ . VS­ABC 8