基本导数公式
1) (C ) 0 ,
2) ( x ) x1 ,
3) (a x ) a x lna , 5) (sin x) cos x , 7) (ln x) 1 .
x
4) (e x ) e x , 6) (cos x) sin x ,
第二节 求导法则
一、和、差、积、商的求导法则 二、反函数的导数 三、复合函数的导数
h0
h
h0
h
u( x h)v( x) u( x)v( x h)
lim
h0
v( x h)v( x)h
lim [u( x h) u( x)]v( x) u( x)[v( x h) v( x)]
h0
v( x h)v( x)h
u( x h) u( x) v( x) u( x) v( x h) v( x)
且 (a y ) a y ln a 0, 在 I x (0,)内有,
(log a
x)
1 (a y )
1 a y ln a
1. x ln a
特别地
(ln x) 1 . x
基本导数公式 P113
(常数和基本初等函数 的导数公式)
(C ) 0
(sin x) cos x
(tan x) sec2 x
,
y
y 0 (x 0),
f ( x)连续,
又知 ( y) 0
f ( x) lim y lim 1 1
x0 x y0 x ( y)
即 f ( x) 1 .
y
( y)
例1 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
lim
h
h
h0
v( x h)v( x)
u( x)v( x) u( x)v( x)
[v( x)]2
f ( x)在x处可导.
1)，2) 可推广到有限个函数运算形式
(1)
n
fi(x)
n
fi( x);
i1
i1
(2)
n
fi ( x) f1( x) f2( x) fn ( x)
i1
cos x
(cos cos 2
x) x
sin x cos2 x
sec x tan x.
同理可得 (csc x) csc x cot x.
例4
设
f (x)
sin x e x 1
x0 ,
求
f ( x) .
x0
解 当x 0时, f ( x) (sin x) cos x ,
当x 0时, f ( x) (e x 1) e x , 当x 0时, f (0) 0
3) u( x) v(x)
u( x)v( x) u( x)v( x) v2(x)
(v( x) 0) .
证(3) 设 f ( x) u( x) , (v( x) 0),
v( x) f ( x) lim f ( x h) f ( x)
u( x h) u( x) lim v( x h) v( x)
f(0)
lim
x0
f (x) x
f (0)
sin x 0
lim
x0
x
1,
f(0)
lim
x0
f (x) x
f (0)
lim e x
x0
10 x
1,
f (0) 1 ,
f
( x)
cos x e x
x x
0 0
.
二、反函数的导数
定理 如果函数 x ( y) 在某区间 I y 内单调、可
f1( x) f2( x) fn( x)
nn
fi( x) fk ( x);
i1 k1 ki
2)中当 v( x) C 时 , 有 [Cu( x)] Cu( x) ;
2) 中当 v( x) u( x) 时 , 有 [u2( x)] 2u( x)u( x) ;
3) 中当 u( x) C 时 , 有 C v(x)

(arcsin
x)
1 (sin
y)
1 cos y
1 1 sin2 y
1 .
1 x2
同理可得 (arccos x) 1 .
1 x2
(arctan
x
)
1
1 x
2
;
(
arccot
x)
1
1 x2
.
例2 求函数 y log a x 的导数.
解 x a y 在 I y (,)内单调、可导 ,
导且 ( y) 0 , 那末它的反函数 y f ( x)在对应
区间I x内也可导 , 且有 f ( x)
1
.
( y)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x )
由y f ( x)的单调性可知 y 0,
于是有
y x
1 x
(e x ) e x
(ln x) 1 x
(arccos x) 1 1 x2
(arccot
x)
1
1 x
2
求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x),v v( x)可导，则
一、和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数 u( x) , v( x) 在点 x 处可导 , 则它 们的和、差、积、商(分母不为零) 在点 x 处也 可导 , 并且有:
1) [u( x) v( x)] u( x) v( x) ;
2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x) ;
Cv( x) v2(x)
(v( x)
0).
求导举例
例1 求下列函数的导数 1. y 2x2 3sin x ln 3
2. y x cos x
3. y e x sin x 5. y e x
x
4. y x x 6. y 1 x
1 x
例2 求 y tan x 的导数 .
解 y (tan x) (sin x )
(sec x) sec x tan x
(a x ) a x ln a
(loga
x )
1 x ln a
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x )
1
1 x2
( x ) x 1
(cos x) sin x
(cot x) csc2 x
(csc x) csc x cot x
cos x
(sin x) cos x sin x(cos x)
cos2 x
cos2 x cos2
sin2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x.
同理可得 (cot x) csc2 x.
例3 求 y sec x 的导数 .
解 y (sec x) ( 1 )