σp
cr
2E 2
粗短杆
中长杆
细长杆
O
λS
λp
λ
根据临界应力总图中所示之σcr－λ关系，可以确定区分 不同材料三类压杆的柔度极限值λs、 λP 。
令细长杆的临界应力 等于材料的比例极限，得到
＝
P
π 2E
P
对于不同的材料，由于E、σ P 各 不相同， λP 的数值亦不相同。一旦 给定E、 σ P，即可算得λP。
显然，只有p时，即：对于大柔度杆，才可以 用欧拉公式计算压杆临界力。
应当记忆： 对于一般钢材， P =200~300MPa。其p~100左右。
三类不同的压杆
•细长杆（大柔度杆）—发生弹性屈曲 •中长杆（中柔度杆）—发生弹塑性屈曲 •粗短杆（小柔度杆）—不发生屈曲，而发生屈服
三类压杆的临界应力公式
选择一个半波: n=1, P 2 EI
cr 最小临界载荷
l2
欧拉公式
讨论:
(1)
P EI , cr
Pcr
1 l2
(2) I 应当选取最小惯性矩
P 2EI
cr
l2
y
例如:两端铰支压杆, I = Imin= Iy
x h
(3) n=1, 表示失稳曲线仅有一个半波.
b
P π2n2EI
cr
l2
n称为半波数
FP < FPcr, 稳定的直线平衡构型
判别弹性平衡稳定性的静力学准则 （statical criterion for elastic stability）
FFPP FP
FP>FPcr :在扰动作用下，
直线平衡构形转变为弯曲 平衡构形，扰动除去后， 不能恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是不稳定的。
结构构件或机器零件在压缩载荷或其它特定载荷作 用下发生变形，最终在某一位置保持平衡，这一位置称 为平衡位置，又称为平衡构形（equilibrium configuration）。
承受轴向压缩载荷的细长压杆，有可能存在两种 平衡构形——直线的平衡构形与弯曲的平衡构形。
平衡构形—压杆的两种平衡构形
FP FP
FP < FPcr : 直线平衡构形
FP>FPcr : 弯曲平衡构形 (在扰动作用下)
判别弹性平衡稳定性的静力学准则 （statical criterion for elastic stability）
FFPP FP
FP<FPcr :在扰动作用下，
直线平衡构形转变为弯曲 平衡构形，扰动除去后， 能够恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是稳定的。
Ａ型柱的连接杆焊点突然失效，导致Ａ型柱失稳破坏 柱脚与地面连接强度不足，局部杆受力大，导致另一柱脚被拔起
杆件失稳 ≠ 不平衡
杆件在失稳后，有可能以弯曲曲线形式的 平衡状态的维持，也可能不再平衡。
1. 稳定平衡和临界平衡
一个处于平衡状态的受力系统，当受到一个轻微的扰动后， 仍然能够恢复原有形式的平衡状态，则称为稳定平衡。反之， 称为非稳定平衡。
—欧拉公式
E—压杆材料的弹性模量 I—压杆失稳方向的惯性矩
l—压杆长度
—长度系数（coefficient of 1ength）
l —有效长度(effective length)
Pcr =
2EI (μl)2
—欧拉公式
注意：
1、当约束与空间取向无关时（如：球铰链），惯性矩 I 应
当取最小值 Imin。
1.0 0.5
—反映不同支 承影响的系数， 称为长度系数 （coefficient of 1ength） ——可由屈曲 后的正弦半波长 度与两端铰支压 杆屈曲时的正弦 半波长度的比值 确定。
观察失稳曲线 拐点处无弯矩
确定两个拐点(inflexion)
P cr
π 2 EI ( l 2)2
l —不同压杆屈 曲后挠曲线上正 弦半波的长度， 称为有效长度 (effective length)；
1.分析: 哪一根压杆的临 界载荷比较大；
2.已知： d =160 mm、 E =206 GPa , 求：二杆的临界载荷
1.分析: 哪一根压杆的临界载荷比 较大：
从临界应力总图可以看出： 材料相同的压杆，柔度越大，临 界应力越小。 所以判断哪一根压杆的临界载荷 大，必须首先计算压杆的柔度。
1.分析: 哪一根压杆的临界载荷比 较大：
§9–4 欧拉公式的适用范围，经验公式
柔度又称长细比，用 表示。柔度是综
＝μl 合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面
形状对压杆临界载荷影响的量，由右式确定：
i
其中，i为压杆横截面的惯性半径：
i I A
从上述二式可以看出，柔度反映了压杆长度、支承条件以及 压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。
FP > FPcr, 不稳定的直线平衡构型
2 结构杆件发生失稳的必要条件
(1)结构必须是由细长或薄壁构件（长杆、 薄板或壳体）组成 (2)构件必须承受压载荷作用
(3)压载荷必须达到或超过失稳的临界
载荷，即：P Pcr
3. 压杆的临界载荷
当压载荷达到某数值时，即：
P Pcr
在外界干扰力作用下，直线平衡构形转 变为弯曲平衡构形，扰动除去后，不能恢复 到直线平衡构形，则称：压载荷为达到失稳
2、当约束与空间取向有关时（如：夹板式铰链），则按照
两个互相垂直方向的惯性矩I和相应的约束(μ)。分别计算临
界压力，取其最小值为杆的 Pcr 。
压力P与压杆内最大挠度Vmax的关系
P
D A
稳 定
Pcr 承
载
O
精确解
E G
F H
Pmax
实际材料失稳
C
理想材料失稳
A`
近似解
真实压杆的缺陷： •初曲率 •非均匀性 •偏心载荷
y Asin kx B coskx
kl πn, (n 1,2,3,......)
n=1
Pcr n = 2
4Pcr
9Pcr
n=3
§9–3 其它支座条件下细长压杆的临界力不同的约束不同挠曲线近似微分方程
不同边界条件
不同的 P cr
Pcr
?
♣ 两端固定端约束
Pcr
Pcr
Pcr
l l/4 l/2 l/4
临界应力
对于弹性屈曲, 必须有：
cr
Pcr A
p
p—比例极限
l —柔度
i
Pcr =
2EI (μl)2
i I —截面的惯性半径 A
cr
Pcr A
p
欧拉公式的适用范围：
cr
Pcr A
π2EI / A
(l)2
π 2 E (i)2
(l)2
π2E
( l )2
i
π2E
2
p
设：cr＝ P 时， =p
18m 0.16m
112.5
Q235钢 p=101
二者都属于细长杆，采用欧拉公式。
2.已知： d =160 mm， Q235 钢， E =206 GPa , 求：二杆的临界载荷.
二者都属于细长杆，采用 欧拉公式。
FPcr
a
cr
A
2E 2
d 4
2
2 206109 (160103)2
1252
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
l l/4 l/2 l/4
l 2l l 0.7l
1.0 0.5
2.0
♣ 一端自由，一端固定
♣ 一端铰支，一端固定
P π2EI
cr (l)2
0.7
P π2EI cr (2l)2
P π2EI cr (0.7l)2
欧拉公式的一般形式
Pcr =
2EI (μl)2
（近似挠曲线微分方程）
y
临界载荷作用下的弯矩方程:
Pc
y
PPc
M (x) P y cr
r
x
r
l
Pcr
N y
d2
y
M
(x)
P cr
y
M
dx2 EI
EI
令
k2
P cr
EI
d2y k2y 0 dx2
求解此常微分方程,可以得到含待定常数的通解:
y Asin kx B coskx
考虑杆的边界条件:
的临界载荷Pcr。
§9–２ 两端铰支细长压杆的临界力
确定临界载荷的平衡方法
y" = M(x) EI z
（近似挠曲线微分方程）
当梁内弯矩分段、材料不同、截面不同，梁的近 似挠曲线微分方程必须分段表示。积分法一般步骤为：
EIy
,,
k
=
M(x)k
k 1, 2,..., n
y" = M(x) EI z
若令中长杆的临界应 力等于屈服强度，由
cr＝a－b
s＝
a－
b
s
小结：
细长杆(p)—发生弹性屈曲，用欧拉公式。 中长杆(s < p)—发生弹塑性屈曲，用经验公式。 短粗杆(< s)—不发生屈曲，而发生 屈服。
例题
两根直径均为 d 的压杆， 材料都是 Q235 钢，但二者长 度和约束条件各不相同。试；
对于细长杆，临界应力公式
cr
π2E
2
对于中长杆，由于发生了塑性变形，理论计算比较复 杂，工程中大多采用直线经验公式计算其临界应力，最常 用是直线公式：
cr＝a－b
其中， a 和 b 为与材料有关的常数，单位为MPa。
对于粗短杆，因为不发生屈曲，而只发生屈服(韧性材 料)，故其临界应力即为材料的屈服应力