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命题逻辑习题及其参考答案

1.某地发生一起刑事案件,经过公安人员的努力侦破,作案嫌疑人锁定在A、B、C三人中,并且摸清了以下情况:①只有01号案件成功告破,才能确认A、B、C三人都是作案人。

②目前,01号案件还是一起悬案。

③如果A不是作案人,那么A的供词是真的,但A说自己与B都不是作案人。

④如果B不是作案人,那么B的供词也是真的,但B说自己与C是好朋友。

⑤现已查明C根本不认识B。

根据上述线索,问:A、B、C三人中谁是作案人?解:令p:01号案件成功告破;q、r、s分别表示A、B、C作案;t:B与C是好朋友。

据题意有:1. {1} ┐p→┐(q∧r∧s)P2. {2} ┐p P3. {3} ┐q→(┐q∧┐r)P4. {4} ┐r→t P5. {5} ┐t P6. {4.5} r T4.5否定后件7. {1.2} ┐(q∧r∧s)T1.2肯定前件8. {1.2} ┐q∨┐r∨┐s T7德摩根9. {1.2.3} q T3.6否定后件10. {1.2.3.4.5} q∧r P6.9组合式答:AB作案,至于C尚待侦查。

2.综合分析题(要求写出推导过程):某班有学生61人,下面有三句话:①该班有些学生会使用计算机。

②该班有些学生不会使用计算机。

③该班班长不会使用计算机。

已知上述三句话中,只有一句话是真的,试问:哪一句话是真话?该班有多少学生会使用计算机?解:①②分别为I命题和O命题,二者是下反对关系,必有一真,或许都真;但据题设只有一句真话,可知③为假,真实情况是班长会使用计算机。

既然这样第一句话“该班有些学生会使用计算机”就是真的,而第二句话就是假的。

O命题假,根据矛盾关系可知,A命题即“该班所有学生都会使用计算机”就真,所以,全班61个学生都会计算机。

3.下面有三句话:①如果甲是篮球队员,则乙就是足球队员。

②如果乙是足球队员,则甲就是篮球队员。

③甲不是篮球队员。

已知上述三句话中只有一句话是真话,问:甲是不是篮球队员?乙是不是足球队员?哪一句话是真话?(要求写出推导过程)解:令p表示“甲是篮球队员”,q表示“乙是足球队员”,再令③即“┐p”真,据题设有:①{1} ┐(p→q)P②{2} ┐(q→p)P③{3} ┐p P④{1} p∧┐q T①等值关系⑤{1} p T④合取分解⑥{1.3} p∧┐p T③⑤合取组合⑦{1} p T归谬③⑥⑧{2} q∧┐p T②等值关系⑨{2} ┐p T⑧合取分解⑩{1.2} p∧┐p T⑦⑨合取组合⑾{1} (q→p)归谬②⑩可见:第二句话为真,一三两句为假。

甲为篮球队员为真,但并非“甲为篮球队员,乙就是足球队员”,但“如果乙是足球队员,则甲是篮球队员”。

4.已知下列三个命题中只有一个命题为假, 问:哪一句话是假话?该班51名学生中有多少人是团员?(要求写出推导过程)(1) 该班所有的学生是团员。

(2) 该班所有的学生不是团员。

(3) 该班班长不是团员。

解:(1)(2)为上反对关系,必有一假,据题设,(3)即“该班班长不是团员”就为真,由此可知(1)为假(矛盾关系);据题设,(1)假,(2)真,实际情况是该班51人都非团员。

5.证明:如果同时肯定下列三个命题,则违反了矛盾律要求(1)PES(2)MOP →SIP(3)SIM证明:(4) SEP T(1)换位(5) 并非SIP T(4)矛盾对当关系(6) 并非MOP T(2)(5)否定后件(7) MAP T(6)矛盾对当关系(8) SIP T(3)(7)直言三段论(9) SIP且并非SIP T(5)(8)合取组合(10) 并非((1)∧(2)∧(3)) 归谬6.已知①非(A→B)←(C∧非D)②A→C③C→B求证:A→D证明:④A→B T②③假言三段论⑤并非(C∧非D) T①④否定前件⑥非C∨D T⑤德摩根⑦C→DT⑤蕴涵否析⑧A→DT②⑦假言三段论7.已知:①A→(B∨C)②非B→A③非(D→B)④非D ←非E求证:E∧C证明:⑤B∨A T②蕴涵否析⑥D∧非B T③蕴涵否定等值关系⑦非B T⑥组合分解⑧D T同上⑨E T④⑧否定前件⑩A T⑤⑦否定肯定⑾B∨C T①⑩肯定前件⑿C T⑦⑾否定肯定⒀E∧C T⑨⑿合取组合12.用选言法证明:小前提为O命题的有效三段论必定是第二格三段论。

证明:先构成小前提为O命题的选言支,其大小前提的组合情况有下面几种:1)AO,2)EO,3)IO,4)OO。

而其中3)和4)都是两个特称的前提,根据规则6,推不出;2)为两个否定,据规则3也推不出。

这样就只有1)AO组合能满足要求。

这个组合有两次周延的机会,由于有O命题作为前提,结论是否定的,则大前提在结论中是周延的,因而(据规则2)要求大项在结论中周延;而大项要在A命题中周延,大项必须是全称命题的主项,因而,大前提为PAM。

再者,中项必须周延一次(规则1),所以,小前提中的小项就不可能周延了,它一定是O命题的主项,即小前提是SOM。

综上该有效三段论就为第二格,如下所示:PAM 图aSOMSOP13.用反证法证明:有效的第四格三段论的大小前提都不能是O命题。

先作出第四格的图式如下:P——M 图bM——SS——P证明:1)令大前提为POM。

这样结论就是否定的,因而,结论中P周延,然前提中它并不周延,违背了三段论规则2,所以,大前提不能是O命题;2)再令小前提为MOS,同理,大项(否定命题的谓项)结论中周延,要求大词前提中周延,大项也该在前提中周延,这样大前提就该是PAM或者PEM。

而小前提为否定的,则大前提不能为PEM,因为两个否定的命题推不出(规则3),这样大前提就只能是PAM,则大前提中的中项(肯定的谓项)不周延,必须在小前提中周延,这样小前提就因该是全称命题,与假定矛盾。

所以小前提不能是O命题。

14.证明:若有效的第四格三段论的小项在结论中周延,则该三段论必为AEE。

证明:第四格如图b所示,小项在结论中周延,则要求它在前提中周延,那么根据S在前提中谓项的位置,它只可能在小前提为否定命题的时候才能满足;但,这样就只能得出否定的结论,而否定的结论中大项就是周延的,因而,大前提中大项也应周延,大前提中主项上的大项P要得以周延,只可能是全称命题PAM或PEM才有机会;PEM淘汰,因为小前提是否定的。

大前提只可能是PAM了,而M在此并没有周延,因此,要求M在下面的小前提中周延,所以,小前提只能是全称否定命题MES。

也只有如此,结论才可以得到SEP 的结论。

15.已知某有效三段论的小前提是否定命题,求证:该三段论的大前提只能是全称肯定命题。

证明:小前提否定的,结论就是否定的,则,大项在结论中周延,因而大项在前提中也要周延;大前提如果是否定的则违反规则3,所以大前提为肯定命题。

又因I命题主词谓词均不周延,大前提就只能是A命题,大词处于主项位置,具体形式该为PAM。

16.已知:(1)A真包含于B。

(2)有C不是B。

(3)若C不真包含A,则C真包含于A。

请问:A与C具有什么关系?请写出推导过程,并用欧拉图将A、B、C三个概念在外延上可能具有的关系表示出来。

推理:(1)所有A是B P(2)有C不是B P(3)若有C不是A,则所有C是A P(4)有C不是A T(1)(2)三段论(5)所有C是A T(3)(4)肯定前件图c17.某排球队有1、3、4、6、9和12号等六名主力队员。

他们之间的最佳配合有以下规律:(1)要是4号上场,6号也要上场。

(2)只有1号不上场,3号才不上场。

(3)要么3号上场,要么6号上场。

(4)如果9号和12号同时上场,则4号也要上场。

某场比赛需要1和12号同时上场。

问:为了保持最佳阵容,这场比赛中,9号该不该上场?(要求写出导过程。

)解:1. {1} 4→6 P2. {2} 1→3 P3. {3} (3∧┐6)∨(┐3∧6) P4. {4} (9∧12) →4 P5. {5} 1∧12 P6. {5} 1 T5分解7. {5} 12 T5分解8. {2.5} 3 T2.7肯定前件9. {2.3.5} ┐6 T3.9肯定否定10. {1.2.3.5} ┐4 T1.9否定后件11. {1.2.3.4.5} ┐(9∧12) T4.10否定后件12. {1.2.3.4.5} ┐9∨┐12 T11德摩根13. {1.2.3.4.5} ┐9 T7.12否定肯定答:由此可知9没有上18.某商店被盗,员工甲、乙、丙、丁涉嫌被调查。

甲:我没有作案,作案的是乙。

乙:我和丙都没有作案。

丙:除非甲作案,否则乙不会作案。

丁:甲和丙中至少有一人作案。

已知这四句话中只有一句为真,问到底是谁作案?谁说的是真话?(要求写出推导过程。

)解:这是个典型的找矛盾的题,只要找到矛盾的说法肯定其中就有个是对的,而余下的其他人的说法就是错的,这样就能解开谜团。

我们用甲乙丙丁分别表示四个嫌疑人作案,他们几个的供词如下:甲:┐甲∧乙乙:┐乙∧┐丙丙:┐甲→┐乙丁:甲∨丙分析:甲:“没有甲乙也会作案”,而甲说:“没有甲乙就不会作案”;显然甲和丙的话是矛盾的,必有一真,据题设只有一句真话,那么乙和丁的话就不可能真,而真实的情况该是“并非(┐乙∧┐丙)”(a),“并非(甲∨丙)”(b)。

从(a)可知或乙或丙作案(乙∨丙),从(b)甲和丙都没有作案,即(┐甲∧┐丙)。

从(b)知道乙没有作案(┐丙)(c);甲也没有作案(┐甲)(d)。

既然如此,据(a)(c),那就是乙作案了(乙)(e)。

据(d)(e)得知“┐甲∧乙”为实情,甲说的是真话,那么丙说的就是假话了。

19.A、B、C三人从政法大学毕业后,一个当上了法官,一个当上了检察官,另一个人做了律师。

但究竟谁具体做什么工作,人们开始并不清楚,于是作出了如下测: 甲:A做了律师,B做了法官。

乙:A做了法官,C做了律师。

丙:A做检察官,B做了律师。

后来证实,甲、乙、丙三人的猜测都只是对了一半。

请问:A、B、C三人各担任什么具体司法工作?(要求写出推导过程。

)解:设甲的前半句话为真,即“A是律师”,则乙的猜测完全错了,故“A是律师”为假,甲的后半句话为真,即“B是法官”。

“B是法官”为真,则丙的后半句话为假,其前半句话为真,即“A是检察官”。

“A是检察官”为真,则乙的前半句话为假,其后半句话为真,“C是律师”。

20.已知下面三句话中两真一假,试说明甲和乙至少有一人是电工。

(1)如果丙不是木工,那么甲是电工。

(2)如果丁不是木工,那么乙是电工。

(3)丙和丁都是木工。

解:通常做这类题关键在于找相互矛盾的命题,找到这对矛盾的命题就好办了,矛盾的命题是必有一真必有一假的,所以这个假的命题一定在其中;按题意则余下的那个命题就是真的了。

你可以来找找!但,今天这个题有些特别,我们得换一个思路。

我用下标m表示某人是木工,下标d表是电工:1. {1} ┐丙m→甲d P2. {2} ┐丁m→乙d P3. {3} 丙m∧丁m P4. {4} ┐甲d∧┐乙d P(假设甲乙都非电工,如果有矛盾就证明至少为d)5. {4} ┐甲d T4分解6. {4} ┐乙d T4分解7. {1.4} 丙m T1.5否定后件8. {2.4} 丁m T2.6否定后件9. {1.2.4} 丙m∧丁m T7.8组合这样一来就没有一个为假的命题了,与题设不相符合,所以第4行的引入不能满足该题条件,用归谬律将4归谬,所以证明:┐(┐甲d∧┐乙d),即:甲d∨乙d21.已知下列三句话一真两假,问:甲、乙、丙、丁的名次如何排定?(1)若乙第二,则甲第一。

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