A

F

d
r
变化量与力在空间上的 累积作用相关
机械运动与机械运动转换时，数量关系可以用动量 或动能来量度。
机械运动与非机械运动转换时，只能用动能来量度。
6
二 质点系动量定理
（theorem of momentum of particle system）
pi
· i
r vFi
为质点
i
受的合外力，
······ Fi fij
fj i j
fij为质点 i 受质点 j 的内力，
r pi
为质点 i 的动量。
· 质点系
r
对质点 i ： （Fi
r fij）d t

d
r pi
对质点系：
r ji r (Fi fij）d t
r d pi
i
ji r
i
由牛顿第三定律有： fij 0
mv1y
t2
t1
Fz dt

mv2 z

mv1z
质点动量定理只适用于惯性系
5
动量：与动力学有密切的关系，是动力学参量。 速度：只是从运动学角度描述物体的运动状态。 动量比速度更能反映物体的运动状态。

动量 P： P Fdt 变化量与力在时间上的 累积作用相关
动能
Ek：
Ek

F箭对气dt = dm(v - u) - vdm = - F气对箭dt 由此得火箭所受燃气的反推力为
dm
F F气对箭 u d t
15
二. 重力场中的火箭发射 忽略地面附近重力加速度 g 的变化，
可得 t 时刻火箭的速度：
v(t)

vi

gt

u ln
Mi Mt
Mt ： t 时刻火箭壳和尚余燃料的质量
第3章 动量与角动量
1
力的瞬时效应：牛顿第一、第二、第三定律
与力的累积效应（空间累积、时间累积）相关的 三个定理：动量定理、动能定理、角动量定理
特殊情况下就有：动量守恒定律、机械能守 恒定律、角动量守恒定律
守恒量：对于物体系统内发生的各种过程，如果某 物理量始终保持不变，则称其为守恒量。
表面上看，能量、动量和角动量三个定律仅是牛顿 第二定律的数学变形，但是实际上它们是更为基本 的物理量，它们的守恒定律具有更广泛、更深刻的 意义。
牛顿第二定律 F
ma

F

m
d
v

d
mv

d
p
dt dt dt
微分形式
积分形式
作用于质点上的合力的冲量等于同一时间内 质点动量的增量 质点的动量定理
4
方向：I的方向与(mv) 的方向相同
t2
t1
Fxdt

mv2 x

mv1x
分量表示式：
t2
t1
Fy dt

mv2 y

2
3.1 冲量与动量定理
冲量：力和力作用时间的乘积 （单位：牛顿·秒 (N·s)）
恒力 变力
在 dt 时间内的元冲量： dI Fdt
在 t1至 t2 时间段内的冲量：
（力对时间的积累效应）
动量：质点质量 m 和速度 的乘积
P
mv
单位：千克·米·秒-1 (kg·m·s-1) 3
一、质点的动量定理
(2)增大 N（受一定限制）
为提高N，采用多级火箭（一般为三级） v = u1ln N1+ u2ln N2+ u3ln N3
资料：长征三号（三级大型运载火箭）
全长：43.25m， 最大直径：3.35m，
14
2.火箭所受的反推力 研究对象：喷出气体 dm t 时刻：速度v (和主体速度相同)，动量 vdm t +dt时刻：速度 v - u， 动量dm(v - u) 由动量定理，dt内喷出气体所受冲量
用质点系动量定理处理问题可避开内力。 8
§3.2动量守恒定律 （law of conservation of momentum）
质点系所受合外力为零时，质点系的总动量
不随时间改变。这就是质点系的动量守恒定律。
即
r
Fi
0
时，
v Pi
常矢量
i
i
几点说明：
1.动量守恒定律是牛顿第二定律的必然推论。
喷出燃料的质量：dm = - dM，
喷出燃料速度(对地)： v - u
12
火箭壳体 +尚存燃料的质量： M - dm 火箭壳体 +尚存燃料的速度(对地)：v + d v 系统动量： ( M- dm)(v + d v) + - dM(v - u)
由动量守恒，有
M v = - dM(v - u) +( M- dm)(v + d v )
2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。9
3. 动量若在某一惯性系中守恒， 则在其它一 切惯性系中均守恒。
4.若某个方向上合外力为零， 则该方向上动 量守恒，尽管总动量可能并不守恒。
5.当外力<<内力 且作用时间极短时（如碰撞）， 可认为动量近似守恒。
6.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本 的定律，它在宏观和微观领域均适用。
经整理得： Mdv = -udM
d v u d M M
f
Mf dM
d v u
i
M Mi
速度公式：
vf
vi
u ln Mi Mf
13
引入火箭质量比：N Mi Mf
得 v f vi u ln N
讨论：提高 vf 的途径 (1)提高 u（现可达 u = 4.1 km/s）
7.用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统
和条件。
10
§3.3 变质量系统、火箭飞行原理
低速（v << c）情况下的两类变质量问题：
▲ 粘附 — 主体的质量增加（如滚雪球） ▲ 抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射）
还有另一类变质量问题是在高速（v c） 情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也可 以随速度改变 — m = m(v)，这是相对论情形， 不在本节讨论之列。
16
§3.4质心（center of mass）
下面以火箭飞行为例，讨论变质量问题。11
一. 火箭不受外力情形（在自由空间飞行）
1.火箭的速度
v
系统： 火箭壳体 + 尚存燃料 条件：燃料相对箭体以恒速u喷出
总体过程：i (点火) f (燃料烧尽)
先分析一微过程： t t +dt
u
初态：系统质量 M，速度v (对地)，动量 M v
末态：喷出燃料后
7
i ji
所以有：
(
r Fi）d t

d
r pi
令
ri r
i
Fi F外 ，
r pi

r P
i
i
则有： 或r
r dP
F外 d t
质点系动量定理 （微分形式）
t2 t1
r F外
dt

r P2

r P1
—质点系动量定 理（积分形式）
系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。