2
(r 1) ( r2 )
2
C为常数
可见， C ( r ) 和 ( r ) 描述的是同一概率波， 所以波函数有一常数因子不定性。 除此以外，波函数还有相位不定性，即
ei ( r ) 与 ( r )
描述的是同一个概率波
（2） 平方可积
如果

（全）
(r ) d A
§1.1 波函数的统计诠释
一、德布罗意假设
二、平面波 八、不确定度关系 九、力学量的平均值 与算符的引进
三、波函数及统计诠释
四、量子状态 五、波函数的性质 六、多粒子波函数
七、动量分布概率
一、德布罗意假设
1923年法国物理学家de Broglie提出： 既然光具有粒子性,是否实物粒子如电 子也应当具有波动性？ 实物粒子具有波动性，与粒子相联系 L. de Broglie ( 的波称为物质波（matter wave)或德布 法1892-1987) 罗意波。
(r , t )
2 2
代表电子出现在 r 点附近几率的大小.
2
即 (r , t ) xyz 表示在r点处，体积元 xy z 中 找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝 对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例.
粒子波是概率波，反映微观粒子运动的统计规律性.
这是Born给出波函数的统计诠释. -------------它是量子力学的基本原理.
“宏观物体只表现出粒子性”
例2:被电场加速的电子，其波长。
设：加速电压为 U ,电子静止质量 me=9.1× 10-31 kg 当V<<c 时
1 meV 2 e U 2
V
h h meV 2eme U
2e U me
当
U 10 V
4
0.122 A0
U 150V
1A
0
二、平面波
A cos[2 ( t )] r n A cos[2 ( t )] A cos(k r t )
x
k 波矢
或
Asin(k r t )
写成复数形式
Aei ( k r t )
平面波描述自由粒子的运动，其频率与波矢都不随时间 和位置改变，这是因为自由粒子的能量与动量不随时间 和位置改变.
自由粒子波函数
i ( r , t ) Aexp ( p r Et )
属于这种情况，关于自由粒子波函数如何归一化问题， 以后再予以讨论。
六、多粒子波函数
(r 1, r 2)
2
6维空间 表示两个粒子的波函数.
3 3
(r1, r2 ) d rd r2 1
表示测得粒子1在空间体积元 ( r 1, r 1 dr 1 ) 中， 同时，粒子2在空间体积元 ( r2 , r2
2 3
(d dxdydz )
3
A 0 为实常数.即平方可积
由于粒子在整个空间的几率为1，则
2

（全）
1 (r ) A
1 A
1 ( r ) d 3 1 A
与
(r )
描述的是同一个概率波 没有归一化的函数
归一化的波函数
为归一化因子
3 ( r ) d , 则 A 0 ,这是没有意义的. 若 （全） 2
h ( 2 ) h 2 p n k (k )
获得1929年诺贝尔 物理学奖
h 2
De Broglie 关系
双缝实验
Nature 401, 651 (1999)
现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝
屏上出现的电 子说明了电子 的粒子性！ 7 100
3000
20000
70000
随着电子数目的增多，在屏上逐渐形成了衍射图样
“一个电子”就具有的波动性
例1：m = 0.01kg，v = 300m/s的子弹，求。
h h 6.63 1034 0.01 300 2.2110 (m) p mv
34
讨论：h极其微小,宏观物体的波长小得实验难以量
M.玻恩，(Max Born 1882～1970)德国理论 物理学家，量子力学 的奠基人之一。主要 成就是创立矩阵力学 和对波函数作出统计 解释。1954年因波函 数的统计解释荣获诺 贝尔物理学奖。
M.玻恩
四、量子状态
利用波函数可以得到体系的各种性质. 由波函数振幅绝对值的平方就可以得到粒子 在空间任意一点出现的概率. 波函数描写了体系的量子状态（简称状态或态）
当粒子处于某一量子态时，它的力学量（如坐标、 动量等）一般有许多各种可能值.这些可能值各自以 一定的几率出现，这些几率都可由波函数得到.
五、波函数的性质
根据波函数的概率解释，波函数有如下性质： （1）归一化 由于粒子必定在空间中的某一点出现，所以粒子 在空间各点出现的概率总和ydz 1
2
粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数与空间各点 的相对强度，而不决定于强度的绝对大小.如果把波函 数在空间各点振幅同时增大1倍，并不影响粒子在空间 各点的概率.即
C ( r )
和 ( r ) 所描述的相对概率分布是完全相同
因为空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率 之比是：
C ( r 1) C ( r2 )

波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基 础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
在电子衍射实验中，照相底片上
某点附近衍射花样的强度： 正比于该点附近感光点的数目，
正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 该点附近的几率。
粒子衍射波波幅用 ( r , t ) 描述，与光学相似， 衍射花纹强度则用 ( r , t ) 描述，意义与经典波不同。
三、波函数及统计诠释
一般情况，用一个函数来描述粒子的波，并称这个 函数为波函数，它是一个复数，写成
(r , t )
粒子波是时间和位置的函数，其动量和能量不再是常 量，用较复杂的波描写.
是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？
描写的是什么样的波呢？
衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子 在许多次相同实验中的统计结果。