附件：模型文件 >> %% Magic Formula model
%Parameter values of Magic Formula in Appendix 3 Fz0=4000; %nominal (rated) load(>0）,N R0=0.313; %unloaded tyre radius (=ro)，m Fz=4000; %vertical load,N r=0.1*pi/180; %camber angle Phx1=-0.002;Phx2=0.002; Pdx1=1.21;Pdx2=-0.037; Pvx1=0;Pvx2=0; Pex1=0.344;Pex2=0.095;Pex3=-0.02;Pex4=0; Pkx1=21.51;Pkx2=-0.163;Pkx3=0.245; Pcx1=1.685; Pcy1=1.193; Pdy1=-0.99;Pdy2=0.145;Pdy3=-11.23; Pey1=-1.003;Pey2=-0.537;Pey3=-0.083;Pey4=-4.787;Pey5=1; Pky1=-14.95;Pky2=2.13;Pky3=-0.028;Pky4=2;Pky5=0;Pky6=-0.92;Pky7=-0.24; Phy1=0.003;Phy2=-0.001;Phy3=0; Pvy1=0.045;Pvy2=-0.024;Pvy3=-0.532;Pvy4=0.039;
F Cx (
v R ) v
其中 F 为纵向力， Cx 为纵向刚度。当纵向滑移率超过 3%时，纵向力 Fx 随滑移率的增大呈非线性关 系增大，当纵向滑移率增大到 15%左右时，纵向力达到最大值；此后滑移率继续增大，纵向力随之减 小，最终趋于稳定值，约为 0.7Fz。 从侧偏力-侧偏角曲线可以看到，由于正的侧偏力产生负的侧偏角，因此曲线和魔术公式中的曲 线 y 值刚好相反， 假如在画图时画成-Fy 则结果和魔术公式中的一致。 在侧偏角 接近 0 度的范围内， 侧偏力和侧偏角同样存在近似的线性关系，同理可以求得侧偏刚度。 1 时的力称为测偏功率 C p 。 侧偏角继续增大时，侧偏力-侧偏角曲线的斜率逐渐减小，这时轮胎在接地处已经发生部分侧滑。最 后侧偏力达到附着极限时，整个轮胎侧滑。
纵向力/（N）
侧偏力/（N）
纵向力/（N）
1000 0 -1000 -2000 -3000 -4000 -5000 -10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 侧偏角 /（度）
侧向力/（N）
1000 0 -1000 -2000 -3000 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2
回正力矩/（N*m)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50
纵向滑移率
-60 -10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 侧偏角 /（度）
1、 纯侧滑工况 从纵向力-纵向滑移率曲线可以看到，力与滑移率之间具有很强的非线性关系；但可以看出当轮 胎的滑移率低于 3%时，轮胎所传递的纵向力和滑移率之间近似成线性关系。而在车辆正常行驶中， 轮胎的滑移率很少超过 2%，因此在这一范围内可以定义纵向刚度
回正力矩/（N*m）
2000
回正力矩 (纯侧滑 ) 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 侧偏角 /（度） 回正力矩 (组合滑移 )
同济大学 汽车学院 1133090
qcz1=1.18; qhz1=0.007;qhz2=-0.002;qhz3=0.147;qhz4=0.004; qbz1=8.964;qbz2=-1.106;qbz3=-0.842;qbz5=-0.227;qbz6=0;qbz9=18.47;qbz10=0; qdz1=0.1;qdz2=-0.001;qdz3=0.007;qdz4=13.05;qdz6=-0.008;qdz7=0;qdz8=-0.296;qdz9=-0.009;qdz10=0;q dz11=0; qez1=-1.609;qez2=-0.359;qez3=0;qez4=0.174;qez5=-0.896; rcx1=1.092; rhx1=0.007; rex1=0.5;rex2=0.5; %set rbx1=12.35;rbx2=-10.77;rbx3=0; rcy1 = 1.081; rhy1 = 0.009; rhy2=0.1; %set rby1 = 6.461;rby2 = 4.196;rby3 =-0.015;rby4 = 0; rvy1 = 0.053;rvy2=-0.073;rvy3 = 0.517;rvy4 = 35.44;rvy5 = 1.9;rvy6 =-10.71; rey1=0.5;rey2=0.5; %set Ssz1 = 0.043;Ssz2 = 0.001;Ssz3 = 0.731;Ssz4 =-0.238; %Longitudinal Force(pure longitudinal slip) %input:slip ratio k k=linspace(-1,1,200); dfz=(Fz-Fz0)/Fz0; ux=(Pdx1+Pdx2*dfz)*0.9; %取 lam(ux*)=0.9 Kxk=Fz*(Pkx1+Pkx2*dfz)*exp(Pkx3*dfz); %取 lam(Ex*)=1 Shx=Phx1+Phx2*dfz; %取 lam(Hx*)=1 kx=k+Shx; Ex=(Pex1+Pex2*dfz+Pex3*dfz^2)*(1-Pex4*sign(kx)); %取 lam(Ex*)=1 Dx=ux*Fz; %caita(1-8)都取 1 Cx=Pcx1; %取 lamCx=1 Bx=Kxk/(Cx*Dx); %取伊布西隆=0 Svx=Fz*(Pvx1+Pvx2*dfz); %后面的修正系数全部取 1 Fx0=Dx*sin(Cx*atan(Bx*kx-Ex.*(Bx*kx-atan(Bx*kx))))+Svx; subplot(2,3,1) plot(k,Fx0);grid set(gca,'xlim',[-1 1]) %设置 x 轴范围 set(gca,'xtick',[-1:0.2:1]); %设置 x 轴间隔 set(gca,'ylim',[-5000 5000]) %设置 x 轴范围 set(gca,'ytick',[-5000:1000:5000]); %设置 x 轴间隔 xlabel('纵向滑移率'); ylabel('纵向力/（N）'); title('纵向力(纯纵滑)'); %Lateral Force(pure side slip) %input:横向侧偏 是侧偏角取 tan 后的值，即 a* a=linspace(-10,10,200); ta=linspace(-0.17633,0.17633,200); %侧偏角取-10-10 度，tan 后变成-0.17633-0.17633，还是 200 个点
同济大、魔术公式简介
魔术公式是用三角函数的组合公式拟合轮胎试验数据， 用一套形式相同的公式就可以完整地表达 轮胎的纵向力Fx、侧向力Fy、回正力矩Mz、翻转力矩Mx、阻力矩My以及纵向力、侧向力的联合作用工 况，故称为“魔术公式”。 魔术公式的一般表达式为：
Y x D sinC arctanBx E Bx arctan Bx
式中Y(x)可以是侧向力，也可以是回正力矩或者纵向力，自变量x可以在不同的情况下分别表示 轮胎的侧偏角或纵向滑移率，式中的系数B、C、D依次由轮胎的垂直载荷和外倾角来确定。 在侧向加速度常见范围≤0.4g，侧偏角≤5°的情景下对常规轮胎具有很高的拟合精度。此外， 由于魔术公式基于试验数据，除在试验范围的高精度外，甚至在极限值以外一定程度仍可使用，可以 对有限工况进行外推且具有较好的置信度。
* 0.9
x
K ya 1 K yr 1 t 1 x 1 yk 1 vyk 1 s 1
* 1
Ex
* 1
Hx
Cx 1 0;
* 1
y
Cy 1
[10 ,10 ]k [0.5, 0.5]
同济大学 汽车学院 1133090
三、仿真结果分析
根据所建模型进行仿真，得仿真结果如下图所示。
纵向力 (纯纵滑 )
5000 4000 3000 2000 4000 3000
侧偏力 (纯侧滑 )
1000 0 -1000 -2000 -3000 -4000 -5000 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1000 0 -1000 -2000 -3000 -4000 -10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 侧偏角 /（度）
纵向滑移率 纵向力 (组合滑移 )
5000 4000 3000 2000
侧偏力 (组合滑移 )
3000 2000 60 50 40
基于魔术公式的轮胎模型的输入和输出变量 输入变量 纵向滑移率κ 侧偏角α [rad] 外倾角γ [rad] 车轮垂直载荷 FZ [kN] 输出变量 纵向力 FX [N] 侧向力 FY [N] 翻转力矩 MX [Nm] 滚动阻力矩 MY [Nm] 回正力矩 MZ [Nm]
魔术公式
二、建立模型
本程序根据魔术公式的基本结构，在给定参数的基础上，在合理范围内拟定了一部分参数，得到 了仿真结果，从总体上来看复合魔术公式的结果和实际情况。模型程序见附件。 拟定参数：