使用魔术公式的轮胎模型使用魔术公式的轮胎模型主要有Pacejka ’89、Pacejka ’94、MF-Tyre 、MF-Swift 四种。

Pacejka ’89和’94轮胎模型Pacejka ’89 和’94轮胎模型是以魔术公式主要提出者H. B. Pacejka 教授命名的，根据其发布的年限命名。

目前有两种直接被ADAMS 引用。

魔术公式是用三角函数的组合公式拟合轮胎试验数据，用一套形式相同的公式就可以完整地表达轮胎的纵向力F x 、侧向力F y 、回正力矩M z 、翻转力矩M x 、阻力矩M y 以及纵向力、侧向力的联合作用工况，故称为“魔术公式”。

魔术公式的一般表达式为：()()(){}[]Bx Bx E Bx C D x Y arctan arctan sin --=式中Y(x)可以是侧向力，也可以是回正力矩或者纵向力，自变量x 可以在不同的情况下分别表示轮胎的侧偏角或纵向滑移率，式中的系数B 、C 、D 依次由轮胎的垂直载荷和外倾角来确定。

Pacejka ’89轮胎模型认为轮胎在垂直、侧向方向上是线性的、阻尼为常量，这在侧向加速度常见范围≤0.4g ，侧偏角≤5°的情景下对常规轮胎具有很高的拟合精度。

此外，由于魔术公式基于试验数据，除在试验范围的高精度外，甚至在极限值以外一定程度仍可使用，可以对有限工况进行外推且具有较好的置信度。

魔术公式正在成为工业标准，即轮胎制造商向整车厂提供魔术公式系数表示的轮胎数据，而不再是表格或图形。

基于魔术公式的轮胎模型还有较好的健壮性，如果没有某一轮胎的试验数据，而使用同类轮胎数据替代仍可取得很好的效果。

图 基于魔术公式的轮胎模型的输入和输出变量Pacejka ’89轮胎力与力矩的计算 轮胎纵向力计算公式为：()()()()()V X S BX BX E BX C D F +--=111arctan arctan sin其中X 1为纵向力组合自变量：X 1=(κ+S h )，κ为纵向滑移率（负值出现在制动态，-100表示车轮抱死）C ——曲线形状因子，纵向力计算时取B 0值：C = B 0D ——巅因子，表示曲线的最大值：Z Z F B F B D 221+= BCD ——纵向力零点处的纵向刚度：()ZF B Z Z e F B F B BCD 5423-⨯+=B – 刚度因子：B=BCD/(C ×D)S h ——曲线的水平方向漂移：109B F B S Z h += S v ——曲线的垂直方向漂移：S v =0E ——曲线曲率因子，表示曲线最大值附近的形状：8726BF B F B E Z Z ++=图 轮胎属性文件中的纵向力计算系数数据块图 Pacejka ’89轮胎纵向力示例轮胎侧向力计算公式为：()()()()()V Y S BX BX E BX C D F +--=111arctan arctan sin此时的X 1为侧向力计算组合自变量：X 1=(α+S h )，α为侧偏角 C ——曲线形状因子，侧向力计算时取A 0值：C = A 0 D ——巅因子，表示曲线的最大值：Z Z F A F A D 221+= BCD ——侧向力零点处的侧向刚度：()γ5431arctan2sin A A F A BCD Z-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= B – 刚度因子：B=BCD/(C ×D)S h ——曲线的水平方向漂移：γ8109A A F A S Z h ++=曲线形状因子巅因子计算系数 BCD 计算系数 曲线水平漂移计算系数曲线曲率因子计算系数S v ——曲线的垂直方向漂移：131211A F A F A S Z Z V ++=γE ——曲线曲率因子，表示曲线最大值附近的形状：76AF A E Z +=图 轮胎属性文件中的侧向力计算系数数据块图 Pacejka ’89轮胎纵向力示例轮胎回正力矩计算公式为：()()()()()V Z S BX BX E BX C D M +--=111arctan arctan sin此时的X 1为回正力矩计算组合自变量：X 1=(α+S h )，α为侧偏角 C ——曲线形状因子，回正力矩计算时取C 0值：C = C 0 D ——巅因子，表示曲线的最大值：Z Z F C F C D 221+=BCD ——回正力矩零点处的扭转刚度：()()ZF C Z Z e C F C F C BCD 564231-⨯-⨯+=γB – 刚度因子：B=BCD/(C ×D)S h ——曲线的水平方向漂移：131211C F C C S Z h ++=γ曲线形状因子巅因子计算系数 BCD 计算系数 曲线水平漂移计算系数 曲线曲率因子计算系数 曲线垂直漂移计算系数S v ——曲线的垂直方向漂移：()171615214C F C F C F C S Z Z Z V +++=γE ——曲线曲率因子，表示曲线最大值附近的形状：()()γ1098271C C F C F C E Z Z -⨯++=图 轮胎属性文件中的回正力矩计算系数数据块图 Pacejka ’89轮胎回正力矩示例侧偏刚度（Lateral Stiffness ）侧偏刚度在Pacejka ’89和’94轮胎模型中假定是一个常量，在轮胎属性文件的参数PARAMETER 数据段中通过LATERAL_STIFFNESS 语句设定。

侧向形变D e ：D e ＝F y /LATERAL_STIFFNESS ； 翻转力矩：M x ＝ -F z ×D e ；纵向力和侧偏角联合作用的回正力矩M z ；M Z = M Z,MF + Fx ×D e ，这里M Z,MF 为魔术公式计算所得的回正力矩。

滚动阻力（Rolling resistance ）滚动阻力系数R R 同样是在轮胎属性文件中规定的具体值，滚动阻力矩M y ： M y = F z ×R e ×R R曲线形状因子巅因子计算系数BCD 计算系数曲线水平漂移计算系数曲线曲率因子计算系数曲线垂直漂移计算系数这里：R e为轮胎的滚动半径；R R为滚动阻力系数；F z垂直载荷（kN）。

平滑过渡（Smoothing）是否使用平滑过渡也在轮胎属性文件中规定：✧USE_MODE = 1 或2：关闭平滑过渡✧USE_MODE = 3 或4：使用平滑过渡轮胎属性文件TR_rear_pac89.tir全文（示例整车模型MDI_Demo_Vehicle.asy使用的）：$---------------------------------------------------------------------MDI_HEADER[MDI_HEADER]FILE_TYPE = 'tir'FILE_VERSION = 2.0FILE_FORMAT = 'ASCII'(COMMENTS){comment_string}'Tire - XXXXXX''Pressure - XXXXXX''Test Date - XXXXXX''Test tire''New File Format v2.1'$--------------------------------------------------------------------------UNITS[UNITS]LENGTH = 'mm'FORCE = 'newton'ANGLE = 'radians'MASS = 'kg'TIME = 'sec'$--------------------------------------------------------------------------MODEL[MODEL]! use mode 1 2 3 4! -------------------------------------------! smoothing X X! combined X X!PROPERTY_FILE_FORMAT = 'PAC89' 轮胎模型关键词FUNCTION_NAME = 'TYR900' 解算器函数USE_MODE = 4.0 平滑过渡模式$----------------------------------------------------------------------DIMENSION [DIMENSION]UNLOADED_RADIUS = 340.6 轮胎自由半径WIDTH = 255.0 轮胎宽度ASPECT_RATIO = 0.35 高宽比$----------------------------------------------------------------------PARAMETER [PARAMETER]VERTICAL_STIFFNESS = 310.0 纵向刚度系数VERTICAL_DAMPING = 3.1 纵向阻尼系数LATERAL_STIFFNESS = 190.0 侧偏刚度ROLLING_RESISTANCE = 0.0 滚动阻力系数$-----------------------------------------------------------LATERAL_COEFFICIENTS [LATERAL_COEFFICIENTS]a0 = 1.65000a1 = -34.0a2 = 1250.00a3 = 3036.00a4 = 12.80a5 = 0.00501a6 = -0.02103a7 = 0.77394a8 = 0.0022890a9 = 0.013442a10 = 0.003709a11 = 19.1656a12 = 1.21356a13 = 6.26206$-------------------------------------------------------------------longitudinal [LONGITUDINAL_COEFFICIENTS]b0 = 2.37272b1 = -9.46000b2 = 1490.00b3 = 130.000b4 = 276.000b5 = 0.08860b6 = 0.00402b7 = -0.06150b8 = 1.20000b9 = 0.02990b10 = -0.17600$----------------------------------------------------------------------aligning [ALIGNING_COEFFICIENTS]c0 = 2.34000c1 = 1.4950c2 = 6.416654c3 = -3.57403c4 = -0.087737c5 = 0.098410c6 = 0.0027699c7 = -0.0001151c8 = 0.1000c9 = -1.33329 c10 = 0.025501 c11 = -0.02357 c12 = 0.03027 c13 = -0.0647 c14 = 0.0211329 c15 = 0.89469 c16 = -0.099443 c17 = -3.336941注意：属性文件中的单位数据块[UNITS]不用于魔术公式的系数a,b,c 。