200
Series : NDZ Sample 2 661 Obs erv ations 660
150
Mean Median Max imum Minimum Std. Dev . Sk ewnes s Kurtos is J arque-Bera Probability -4.37E-17 0.028869 5.536131 -5.381694 1.000758 -0.070855 7.193859 484.2347 0.000000
100
50
0 -4 -2 0 2 4 6
显然现期方差与前期的“波动”有关系。描述这类 关系的模型称为自回归条件异方差（ARCH）模型 （Engle 1982年提出）。使用ARCH模型的理由是：（1） 通过预测xt或ut的变化量评估股票的持有或交易对收益所 带来的风险有多大，以及决策的代价有多大；（2）可以 预测xt的置信区间，它是随时间变化的；（3）对条件异 方差进行正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有 效性。
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
图3 收益绝对值序列 (1995-2000)
图4 D(JPY)的平方 (1995-2000)
这种序列的特征是（1）过程的方差不仅随时间变化， 而且有时变化得很激烈。（2）按时间观察，表现出“波 动集群”（volatility clustering）特征，即方差在一定时段 中比较小，而在另一时段中比较大。（3）从取值的分布 看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosis and fat-tail）特 征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余 区域的概率比正态分布小。图5给出高峰厚尾分布示意图。 图6给出一个高峰厚尾分布实例。
1 1L 2 L ... p圆之外。xt 的条件期望是
E ( xt xt 1 ,..., xt p ) 0 1 xt 1 2 xt 2 ... p xt p
xt 的无条件期望（T 时）是 0 E ( xt ) 1 1 p 对于 (2) 式，由于ut2 的非负性，对i应有如下约束， 0 0,i 0, i 1,2,...,q
(2)
由于yt的均值近似等于式（1）的估计值，所以式 （1）也称为均值方程。
假设在时刻 ( t 1 ) 所有信息已知的条件下，扰动 项ut的条件分布是：
ut ~ N 0 , ( 0 1ut21 ) (3)


也就是，ut遵循以0为均值，(0+1u2t-1 )为方差的正 态分布。 由于(3)中ut的方差依赖于前期的平方扰动项，我们 称它为ARCH(1)过程：
var( ut ) 0 u
2 t
2 1 t 1
通常用极大似然估计得到参数0, 1, 2, , k, 0, 1的有效估计。
第二节 ARCH模型
一、ARCH模型的定义
若一个平稳随机变量xt可以表示为AR(p) 形式，其 随机误差项的方差可用误差项平方的q阶分布滞后模型 描述， （1） xt 0 1 xt 1 2 xt 2 ... p xt p ut
xt xt 1 ut
其中ut为白噪声过程。1995-2000年日元兑美元汇率 时间序列及差分序列见图1和图2。
160
6
JPY (1995-2000)
4 D(JPY) (1995-2000) 2 0
140
120
-2
100
-4 -6
80 200 400 600 800 1000 1200 1400
t2 E (ut2 ) 0 1ut21 2ut22 ... q ut2q
（2）
则称ut 服从q阶的ARCH过程，记作utARCH (q)。 其中(1) 式称作均值方程，(2) 式称作ARCH方程。
(1) 和 (2) 式还应满足如下条件。对于 (1) 式，为保证 平稳性，特征方程
2 t
当全部i = 0, i = 1, 2, …, q时，条件方差 0 。因为方 2 差是非负的，所以要求0 > 0。为保证 t 是一个平稳过程， (2) 式的特征方程
第九章
异方差时间序列模型
Contents
第一节 第二节 第三节 第四节

问题的提出 ARCH模型 GARCH模型 其他GARCH模型
第一节 问题的提出
在自回归移动平均模型中，我们主要讨论平稳时间 序列的建模问题，由于针对平稳序列，实际上假定任一 时点的随机误差项的期望值是相同的，一般为0，同时假 定任一随机误差项平方的期望值就是随机误差的方差， 即同方差。 ������ 但是在金融市场上，金融资产报酬序列具有这样 的特性，大的报酬紧连着大的报酬，小的报酬紧连着小 的报酬，称为波动集群性(Mandelbrot,1963、 Fama,1965)。波动集群性表明股票报酬波动是时变的， 表明是异方差。 ������ 异方差虽然不会影响回归系数的最小二乘估计的 无偏性，但是将影响到回归系数估计的标准差和置信区 间。例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述，
为了说得更具体，让我们回到k -变量回归模型：
yt 0 1 x1 t k xk t ut
(1)
如果ut的均值为零，对yt取基于(t-1)时刻的信息的 期望，即Et-1(yt)，有如下的关系：
E t 1 ( yt ) 0 1 x1t 2 x2t k xkt
-8 200 400 600 800 1000 1200 1400
图1 日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000)
图2日元兑美元汇率差分序列(收益)D(JPY)
8 Volatility of returns
60 50
6
40
DJPY^2
4
30 20
2
10
0 200 400 600 800 1000 1200 1400