【答案】（1） ；（2）17．
【分析】
（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算二次根式的乘法、负指数幂运算，再计算二次根式的加减法即可得；
（2）先求出 和 的值，再利用完全平方公式进行化简求值即可得．
【详解】
（1）原式 ，
，
，
；
（2） ，
，
，
则 ，
，
，
．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式和平方差公式等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据算术平方根、立方根、二次根式的乘法逐项判断即可得．
【详解】
A、 ，此项错误；
B、 ，此项错误；
C、 ，此项错误；
D、 ，此项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了算术平方根、立方根、二次根式的乘法，熟练掌握算术平方根与立方根是解题关键．
【分析】
由合并同类项、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：A、 ，故A正确；
B、 ，故B错误；
C、 不能合并，故C错误；
D、 ，故D错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
5．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的性质：被开方数大于或等于0，列不等式求解．
【详解】
解：原式=
=．
故答案为．
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观
解析：
【分析】
根据 = ，将原式进行拆分，然后合并可得出答案．
【详解】
解：原式=
= ．
故答案为 ．
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观察．
∴（ −5 ）（ ＋3 ）＝0，
故可得： ＝5 ，a＝25b，
∴ ＝ ．
故选C．
【点睛】
本题考查二次根式的化简求值，有一定难度，根据题意得出a和b的关系是关键．
二、填空题
11．【分析】
利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.
【详解】根据题意，解得：①当时，解得：
即：
①当时，
解得：
即：
故自变量x的取值范围为
A． B． C． D．
7．已知m、n是正整数，若 + 是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（ ）
A．（2，5）B．（8，20）C．（2，5），（8，20）D．以上都不是
8．已知 .则xy=（）
A．8B．9C．10D．11
9．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．设 ， ，且 ，则 的值是（）
=（2021+1）2-4×2021
=20212+2×2021+1-4×2021
=20212-2×2021+1
=（2021-1）2
=20202，
∴b=2020；
∵ ，
∴c＞b＞a．
故选：A．
【点睛】
本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点．变形2019×2021-2019×2020、 ，利用完全平方公式计算出其值，是解决本题的关键．
【答案】
【分析】
根据题意给出的解法即可求出答案即可．
【详解】
设x= + ，
两边平方得：x2=（ ）2+（ ）2+2 ，
即x2=4+ +4﹣ +6，
x2=14
∴x=± ．
∵ + ＞0，∴x= ．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．
24．计算：
【答案】
①
②
【答案】① ；②
【分析】
①根据二次根式的加减法则计算；
②利用平方差、完全平方公式进行计算．
【详解】
解：①原式＝ ＝ ；
②原式＝ ＝ ．
【点睛】
本题考查二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是关键．
27．计算下列各题
（1）
（2）
【答案】(1)1;(2)-12+4 ．
【分析】
(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可；
根据同类二次根式，可知 = ，故不正确；
根据二次根式的性质，可知 =18，故不正确；
根据二次根式除法的性质，可知 ，故正确.
故选D.
10．C
解析：C
【分析】
将 变形后可分解为：（ −5 ）（ ＋3 ）＝0，从而根据a＞0，b＞0可得出a和b的关系，代入即可得出答案．
【详解】
由题意得：a＋ ＝3 ＋15b，
7．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的性质分析即可得出答案．
【详解】
解：∵ + 是整数，m、n是正整数，
∴m=2，n=5或m=8，n=20，
当m=2，n=5时，原式=2是整数；
当m=8，n=20时，原式=1是整数；
即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．
【点睛】
解析：
【分析】
利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.
【详解】
根据题意，
解得：
①当 时，
解得：
即：
①当 时，
解得：
即：
故自变量x的取值范围为
【点睛】
本题考查二次根式以及分式有意义的条件，熟练掌握分类讨论和解不等式组是解题关键.
12．【分析】
根据=，将原式进行拆分，然后合并可得出答案．
17．使式子 有意义的 的取值范围是______．
18．若a、b为实数，且b＝ +4，则a+b＝_____．
19．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简 ＝_____．
20．要使 有意义，则x的取值范围是_____
三、解答题
21．计算及解方程组：
（1）
（2）
（3）解方程组：
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】
先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可
【详解】
解：
=
=
= ．
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．
25．先观察下列等式，再回答下列问题：
① ；
②
③
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 的结果，并验证；
一、选择题
1．下列计算正确的是（）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．3 ＝3C． ＝﹣2D．
3．下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
4．下列各式中，运算正确的是（）
A． B． C． D．
5．式子 有意义，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（）
A． B． C． D．
二、填空题
11．使函数 有意义的自变量x的取值范围为_____________
12．化简并计算： ________．（结果中分母不含根式）
13．已知 ，则 ________．
14．方程 的解是______．
15．若 + = + ， = - ，则x+y=_______．
16．对于任意实数a，b，定义一种运算“◇”如下：a◇b＝a(a－b)＋b(a＋b)，如：3◇2＝3×(3－2)＋2×(3＋2)＝13，那么 ◇ ＝_____.
2．D
解析：D
【分析】
直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．
【详解】
解：A、 与 ，不是同类二次根式，无法合并，故此选项错误；
B、3 ﹣ ＝2 ，故此选项错误；
C、 ＝2，故此选项错误；
D、 ÷ ＝2 ，正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是关键．
3．B
解析：B
【分析】
（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可；
（2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可；
（3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解．
【详解】
（1）
=
=
=
=
（2）
=
=
=
（3）
由②得： ③
②-③得：
把x=10代入①得：y=2
∴原方程组的解是：
∴ = = ．
即 = ．
故答案为(1) = = ， = ；(2) = ；(3)证明见解析.
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.
23．求 的值．
解：设x= ，两边平方得： ，即 ，x2=10
∴x= ．
∵ ＞0，∴ = ．
请利用上述方法，求 的值．
试题解析：(1) =1+ − = ，
验证： = = = =
(2) =1+ − =1+ (n为正整数).
点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，即 ，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.