圆心辅助线的确定方法：
4.5H法：
2
1.边坡计算高度H=h1+h0；
h0
23..GE点点的的确确定定：：由由GA1点点作作水垂平线线，，取取深h距度1 离H为为H4.5H
4.F点的确定：由角度β1和β2的边线相交
β1与β2路基边坡率有关，可查表(4-1)确定。
β1——以AB′平均边H坡线为准；
β2——以B′点的水平线为准。
边坡稳定与 否的判断依据
最危险滑动面ω0
稳定系数的最小值Kmin
验算步骤：
假定边坡值 求出相应Ki
假定4~5个可能的滑动面i K
绘Ki与i关系曲线
判规断定K，m否in是则否改符进合设 计并验算
在曲线上找出 Kmin
K值min及相应的0
ω0
ω
K与ω的关系曲线示意图
对砂类土路堤边坡：取c=0，则有
K R tan T tan
推导：
1.0 f gA I gB I 1 Agf
B
K=f gA+ c gB
H
对不同土层和边坡的路基，作大量运算，其中A 与B是坡角α的函数，运算结果绘制成下图：
应用：
✓在已知土质条件下 （φ，γ，c）， 可查图确定任意高度 h时的边坡角α.
✓或指定α值时，确 定h值。
例4-5 已知某土坡φ=20°，c=9.8kPa， γ=16.66kN/m3，H=10.0m，试求K=1.50时的 值。 解：
解方程，α=730，cotα=0.3，所以边坡可以改陡，采用1： 0.3
例4-3 例4-1数据不变，求允许的最大高度。
Kmin 2a f ctg 2 a f a csc
cotα=0.5,α=63026′ cscα=1.1181 f=tan250=0.4663,
Kmin 2a f ctg 2 a f a csc
Kmin 2a f ctg 2 a f a csc
H=6
f=tan250=0.4663, a=2c/γH=0.2778
解：令Kmin=1.25,将各已知值代 入
Kmin 2a f ctg 2 a f a csc
Φ=250， c=14.7kpa, γ=17.64
1.25 (2* 0.2778 0.4663)cot 2 0.2778(0.4663 0.2778) * 1 sin
1.25 2a 0.4663 0.5 2 a0.4663 a 1.118
H=?
Φ=250， c=14.7kpa, γ=17.64
2c Hmin a 8.33m
得：a=0.20,
所以允许路基最大高度为 8.33m.
§4-3 曲线滑动面的边坡稳定性分析
一般的土
粘结力 滑动面呈曲面
求解
假定
✓计算式：
h0
h0
NQ
BL
Hh
b mb
h0——行车荷载换算高度，m； L——前后轮最大轴距，标准车12.8m； Q——一辆重车的重力，标准车550KN； N——并列车辆数，双车道N=2，单车道N＝1； γ——路基填料的容重，KN/m3； B——荷载横向分布宽度。
h0
Hh
b mb
B——荷载横向分布宽度， B=Nb+(N-1)m+d
特点：比较简便；结果误差大，可在试算中使用
3.计算式 将滑动体分成若干条(如图)，分条计算作用力和 力矩，采用下式计算稳定系数K：
K ( f g Ni cL)gR Ti gR
f g Ni cL Ti
Ni——各土条的法向应力，Ni=Qicosαi； Ti——各土条的切向应力，Ti=Qisinαi。∑Ti为代数和。 αi——各土条重心与圆心连接线对竖轴y的夹角，(土条底滑面 与i水 a平rcs向iyn轴的xRi 右倾侧角取)，正由值水，平左间侧距取x负i与值半。径R确定： Lα—0———滑圆动心面角圆，弧全0 长arcAsiDn x，Ra La=rcs∑inLxRi=d 0.01745Rα0；
K= R Qgcos tan cL
T
Q sin
✓若取K=1.25，则tanω=0.8tanφ。故用松散性填料修 建的路堤，其边坡角的正切值不宜大于填料摩擦系数的 0.8倍。
✓如：当φ=40°时， tanω=0.8tan40°=0.6713，得 ω=33° 52′。如果采用1:1.5 的路基边坡，相应于边坡角 α=33°41′。由于α <ω，该边坡稳定。由此类推，如果 φ<40°,路基边坡应相应放缓。
例4-1某挖方边坡，已知φ=25°，c=14.7KPa， γ=17.64KN/m3，H=6.0m。现拟采用边坡 1:0.5，验算其稳定性。
Kmin 2a f ctg 2 a f a csc
cotα=0.5,α=63026′ cscα=1.1181 f=tan250=0.4663, a=2c/γH=0.2778
4.5H
大量计算证明:
✓当φ=0时，最危险滑动面的圆心就在F点上(纯粘性，滑动半径最 小)。 ✓当φ>0时，圆心在辅助线上向左上方移动，φ值愈大，OF间距愈 大(半径愈大)。
试算时，通常取4~5 点为圆心，分别求K值， 并绘制K值曲线，据以 解得Kmin及相应圆心O0。
36°线法:以B点水平线为基准向外侧作36°角 线，即得圆心辅助线。
*圆弧曲线(计算简单)
复合曲线(计算复杂， 有限单元法，计算机)
*计算方法： 条分法(瑞典法) ★ 简化的表解、图解法 应力圆法、φ圆法
一、圆弧滑动面的条分法
基本原理：静力平衡；基本假定：土质均匀，不计滑动面以外 的土体位移所产生的作用力。
求解过程：
(1).取单位长度，将滑动体划分若干条；
(分条越多，计算结果越精确，但不宜过多，否则工作量较大)
b——后轮轮距，取1.8m； m——相邻两辆车后轮的中心间距，取1.3m； d——轮胎着地宽度，取0.6m。
高度换算后，可近似分布于路基全宽上，以简化滑动体 的重力计算。采用近似方法计算时，亦可不计算荷载。
§4-2 直线滑动面的边坡稳定性分析
砂类土边坡
渗水性强 粘性差
摩 擦
力
陡坡路堤
原地面为 近似直线
不 足
B
D
BD
沿直线形态 滑动面下滑
D
A 高路堤
A 深路堑 A
陡坡路堤
假定AD为直线滑动面，并通过坡脚点A，土质均匀， 取单位长度路段，不计纵向滑移时土基的作用力，可简 化成平面问题求解。
一、试算法
由图，按静力平衡得：
K= R N gf cL Qgcos tan cL
T
T
Q sin
ω——滑动面的倾角；
其中: a 2c
H
公式应用:
✓可在已知α和H(a)的条件下求Kmin； ✓可在已知H(a)和Kmin的情况下求解α； ✓同时也可在已知α和Kmin的情况下求解H(a)。
示例：某挖方边坡，已知：φ=25°，c=14.7KPa，
γ=17.64KN/m3，H=6.0m。 1）边坡1:0.5，验算其稳定性； 2）若取Kmin=1.25，求允许最小边坡； 3）若取Kmin=1.25，求允许最大高度。
f g Ni cgL Ti
f g(ab gcosi ) cgL (ab gsini )
f g (XYH 2 gcosi ) cgZH (XYH 2 gsini )
f g(XYcosi ) c g
Z
f gA c gB
(XYsini ) H (XYsini )
H
其中：A= (XYcosi )，B=
(2).分别计算各土条对于滑动圆心的滑动力矩Moi和抗滑力矩Myi；
(3).取两力矩之比值为稳定系数K，据此判别边坡是否稳定。 (通
过多道圆弧滑动面试算求解Kmin) 要求作图精确，减少量取尺寸误差。
K= M y Mo
2.图式 首先确定圆心O和半径OA。一般情况下，圆心O的 位置是在圆心辅助线EF的延长线上移动。
条分法宜列表进行，见P.92表4-5。 各土条法向分力Ni和切向分力Ti可绘制 曲线，如图
路基填土计算参数的确定：[φ，c，γ] 1.单一土质或土质接近的，一般取固定数值； 2.分层填筑,取其加权平均值: (hi为各层厚度)
i ghi hi
c ci ghi hi
i ghi hi
高路堤、深路堑，地质与水文条件复杂，特殊需要路基
边坡稳定分析计算，确定边坡坡度及工程技术措施
分析方法
土坡
按滑动面特征(直线、曲折和折线) 以土抗剪强度为理论基础
按力的极限平衡 建立计算式
岩石路堑边坡
定性分析 (产状与结构)
确定失稳岩体的范 围、软弱面
定量力学计算
路基边坡稳定性分析计算方法：
✓ 工程地质法(比拟法)：实践经验
得： ctg0 ctg
a csc f a
将上式代入 K R f actg a • ctg
T
✓得最小稳定系数为：
Kmin 2a f ctg 2 a f a csc
如果c
0,可得:K
min
=
tan tan
与试算法结论一致。
Kmin 2a f ctg 2 a f a csc
B
D
f——摩擦系数，f=tanφ;
L——滑动面AD的长度； H
R
N——滑动面的法向分力； T——滑动面的切向分力; c——滑动面上的粘结力； Q——滑动体的重力。
T αω A
ω N
Q
直线滑动面上的力系示意图
K= R N gf cL Qgcos tan cL
T
T
Q sin
滑动面位置ω不同
K值也随之而变K=f(ω)
I=c/γH=0.059，由图4-11，当φ=20°时，得知 α=45°。(注意:此时K=1)