i=1 j=1 s=1
å 其中，X ij×
=
1 t
t s =1
X ijs
是水平组合
下的样本均值
邋 ? k r t
交互作用离差平方和 SSAB =
( X ij鬃- X i 鬃- X j? + X )2
i=1 j=1 s=1
构建检验统计量
邋 ? k r t
令T=
X ijt = krtX
i=1 j=1 s=1
构建检验统计量
邋 ? k r t
总离差平方和 SST =
( X ijs - X )2
i=1 j=1 s=1
邋 ? 其中，X
=
1 krt
k i =1
rt j=1 s=1
Xijs 是数据的总平均
组间离差平方和
邋 ? 邋 k r t
SSA =
( X i鬃- X )2
i=1 j=1 s=1
其中，X
i鬃 =
1 rt
rt
X ijs
j=1 s=1
为水平
邋 ? 邋 1 k
X = X SSB =
r
t ( X鬃j - X )2 其中， 鬃j
kt i=1 j=1 s=1
kt i=1 s=1
ijs 为水平
下的样本均值 下的样本均值
构建检验统计量
邋 ? 随机误差平方和 SSE = k
r
t
( X ijs -
X
)2
ij×
T2 krt
邋 ? å k r t
SSA =
( X i鬃- X )2
i=1 j=1 s=1
=1 rt
k
Ti鬃2 -
i =1
T2 krt
邋 ? å k r t
SSB =
( X鬃j - X )2
i=1 j=1 s=1
=1 kt
r
T鬃2j
j =1
-
T2 krt
邋 邋 ? SSE
=
k i =1
r j =1
X t
检验假设 H0ⅱ: ( ab )ij = 0 ,i = 1,2, ...,k ; j = 1,2, ...,r
H1ⅱ: ( ab )ij不全为零 ,i = 1,2, ...,k ; j = 1,2, ...,r
检验
H
ⅱ
0
构建统计量
FB
=
SSB s2
(r - 1)
SSE s2
(kr(t - 1))
=
提出假设
检验假设 H0 : a1 = a2 = ... = ak = 0 H1 : a1, a2 ,..., ak不全为零
检验假设 H0¢: b1 = b2 = ... = br = 0 H1¢: b1,b2 ,...,br不全为零
检验假设 H0ⅱ: (ab)ij = 0 H1ⅱ: (ab)ij 不全为零 (i =1, 2,..., k; j =1, 2,..., r)
有交互作用双因素方差分析假设检验
1. 提出假设 2. 构建检验统计量 3. 得出检验结论
有交互作用双因素方差分析
在双因素方差分析中，若两个因素 A 和 B 的结合会 产生出一种新的效应，这种新的效应使得因素 A 和 B 放在在一起对因变量取值的影响并不等于它们各自对因 变量取值影响的和，则为有交互作用双因素方差分析。
2
ijs
s =1
-
1k t i=1
T r 2 ij× j =1
构建检验统计量
SSA 与 SSE相互独立， SSB 与SSE 相互独立， SSAB 与SSE相互独立，
并且有
SSE ~ c 2 (kr(t - 1)) s2
构建检验统计量 ，
成立时，有 构建统计量
相互独立
构建检验统计量 ，
检验假设 检验 构建统计量
SSAB /((k - 1)(r - 1))
SSAB (k - 1)(r - 1) FA´ B = SSE / (kr(t - 1))
Fa (r - 1, kr (t - 1)) Fa ((k - 1)(r - 1), kr (t - 1))
误差 SSE kr(t - 1)
—
—
—
总计 SST krt - 1
—
—
—
小结
1. 提出假设 2. 构建检验统计量 3. 得出检验结论
思考练习
有交互作用双因素方差分析问题研究时构建的 检验统计量服从什么分布？相应的自由度是多少？
得出检验结论
表 有交互作用双因素方差分析表
差异来源 离差平方和 自由度
F值
F 临界值
P值
因素 A 因素 B
交互作用
SSA k - 1
SSA/(k - 1) FA =
SSE / (kr (t - 1))
Fa (k - 1, kr (t - 1))
SSB r - 1
SSB /(r - 1) FB =
SSE / (kr (t - 1))
邋k t
T鬃j =
X ijt = ktX鬃i
i=1 s=1
邋r t
Ti鬃 =
X ijt = rtX i鬃
j=1 s=1
t
å Tij鬃= X ijt = tX ij
s =1
邋 ? 邋 ? 则有 k r t
SST =
( X ijs - X )2
i=1 j=1 s=1
k
=
i =1
rt
X2 ijs
-
j=1 s=1
((k - 1)(r - 1)) (kr(t - 1))
=
SSAB/((k - 1)(r - 1)) SSE / (kr(t - 1))
=
MSAB MSE
~
F ((k
-
1)(r
-
1), kr(t
-
1))
得出检验结论
给定的显著水平 ， 否定域为 给定的显著水平 ， 否定域为 给定的显著水平 ， 否定域为
SSB/(r SSE / (kr(t
1) - 1))
=
MSB MSE
~
F (r
-
1, kr(t
-
1))
FA
=
SSA s2
(k - 1)
SSE s2
(kr(t - 1))
=
SSA/(k SSE / (kr(t
1) - 1))
=
MSA Mt
-
1))
FA´
B
=
SSAB s2 SSE s2