《应用数理统计》期末考试试题
（2009-12-12上午9：00—11：00）
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注意：所有题目答案均做在答题纸上，该试卷最后随答题纸一同上交，否则成绩无效。

一、判断题 （30分）
判断下列说法是否正确，正确的划√，错误的划×。

1、若函数()f x 是某一随机变量X 的概率密度，则一定有()0f x ≥。

（ ）
2、设随机变量X 和Y 相互独立，则期望()()()E XY E X E Y =。

（ ）
3、二维随机变量(,)X Y 的相关系数0ρ=是X 与Y 相互独立的必要条件。

（ ）
4、在数理统计中，总体可视为一个概率分布。

（ ）
5、样本的函数即为统计量。

（ ）
6、当x 取定一已知常数时，经验分布函数()n F x 为一统计量。

（ ）
7、设随机变量2~(0,1),~()X N Y n χ
服从自由度为n 的t 分布。

（ ） 8、点估计问题中，一致最小方差无偏估计一定是有效估计。

（ ）
9、假设检验中，在样本容量固定的情形下，第一类错误和第二类错误不可能同时减小。

（ ）
10、假设检验中，第一类错误α的设定越小越好。

（ ）
二、（10分）（1）叙述F 分布的构造性定义。

（2）对连续型随机变量X ，若有()αα=≤x X P ，称αx 为随机变量X （或其分布）的α分位点，记为αX 。

其中10<<α。

记服从自由度分别为,m n 的F 分布的α分位点为(,)F m n α，试证明：11(,)(,)
F m n F n m αα−= 。

三、（15分）设总体X 服从区间],0[θ（0θ>，未知）上的均匀分布，123,,X X X 为来自总体X 的简单样本，
（1）试求其顺序统计量(1)(3)(,)X X 的联合概率密度；
（2）求该问题的总体中位数与样本中位数；
（3）本题中若用样本中位数来估计总体中位数，判断样本中位数估计量是否具有无偏性。

四、（30分）设总体X 服从正态分布),0(2σN ，n X X X ,,,21L 为来自总体X 的简单样本。

（1）叙述求矩估计和极大似然估计的一般步骤；
（2）试求未知参数2σ的矩估计和极大似然估计；
（3）判断（2）中所求的估计是否是无偏的，若不是，试将其修正成无偏的。

（4）比较修正成无偏估计后的两个估计哪个更有效。

并判断是否是有效估计量？是否是相合估计量？
（5）根据以上结论，试用两种方法给出2σ的置信度为1α−的双侧置信区间。

你觉得你得
到的哪种估计会更好一些？为什么？
五、（15分）现有某种型号的电池3批，它们分别是甲、乙、丙3个厂生产的，为评价其质量，各随机抽取5只电池为样品，经实验得其寿命（h ）如下表所示：
试在显著性水平0.05下，检验电池的平均寿命有无显著性差异，并求1223,µµµµ−−的95%双侧置信区间。

要求写出用统计方法解决该问题的模型及假设，理论分析过程。

可能用到的分位点有：（分位点定义参考第二题） 0.90.90.950.950.9750.9750.9750.9750.9750.9750.9750.975(2,12) 2.80,(12,2)9.41,(2,12) 3.89,(12,2)19.4,
(2,12) 5.09,(12,2)39.41;(8) 2.31,(9) 2.26,
(10) 2.23,(12) 2.18,(13) 2.16,(15) 2.13F F F F F F t t t t t t ============。