思考题5-11. 1123123100,000=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅a a a a 0a a a .2.不一定。

例如，对于123101,,012⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a a a ，它们中的任两个都线性无关，但是123,,a a a 是线性相关的。

3. 不一定。

也可能是2a 能由13,a a 线性表示，还可能是3a 能由12,a a 线性表示。

4. 不一定。

例如，对于12121100,;,0012-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦a ab b 。

12,a a 和12,b b 这两个向量组都线性相关，但1122,++a b a b 却是线性无关的。

5. 向量组121,,,,n n +a a a a 线性无关。

根据定理5-4用反证法可以证明这一结论。

习题5-11.提示：用行列式做。

（1）线性无关。

（2）线性相关。

.2. 0k ≠且1k ≠。

3.证：1212,,,1,,,,n n ==∴e e e E e e e 线性无关。

设[]12,,,,Tn b b b =b 则1122.n n b b b =+++b e e e4. 证法1：因为A 可逆，所以方程组=Ax b 有解。

根据定理5-1，向量b 能由A 的列向量组12,,,n a a a 线性表示，所以向量组12,,,,n a a a b 线性相关.证法2：通过秩或根据m n >时m 个n 元向量一定线性相关也可马上证明。

5. .证：（1）因为A 的列向量组线性相关，所以齐次线性方程组=Ax 0有非零解，设≠u 0是它的非零解，则.=Au 0由=B PA ，得.=Bu 0可见=Bx 0有非零解，所以B 的列向量组线性相关。

（2）若P 可逆，则1-=A P B 。

由（1）的结论可知，B 的列向量组线性相关时，A 的列向量组也线性相关，所以A 和B 的列向量组具有相同的线性相关性。

注：该题也可根据性质5-6和性质5-3来证明。

6. 证：由A 可逆知，A 的列向量组线性无关。

根据定理5-6，增加两行后得到的矩阵B 的列向量组也线性无关.注：该题也可通过矩阵的秩来证明。

7.证：（1）由向量组123,,a a a 线性无关，可知23,a a 也线性无关。

又因为向量组234,,a a a 线性相关，所以4a 能由23,a a 线性表示。

（2）反证法。

设1a 能由34,a a 线性表示，又因为4a 能由23,a a 线性表示，所以1a 能由23,a a 线性表示，这与123,,a a a 线性无关矛盾，因而1a 不能由34,a a 线性表示。

8.证：反证法。

设123,,a a a 线性相关，则其中至少有一个向量可由另两个向量线性表示，不妨设1a 能由23,a a 线性表示。

因为向量b 能由123,,a a a 线性表示，所以b 能由23,a a 线性表示，这与b 不能由123,,a a a 中任何两个向量线性表示矛盾，所以向量组123,,a a a 线性无关。

9.证：设21123k k l l l l -++++=αA αA αA α0。

(1)由k=A α0可知，当m k >时，m=A α0. 用1k -A乘以（1）式，得11k l -=Aα0.因为1,k -≠Aα0所以10.l =这时，（1）式成为2123k k l l l -+++=A αA αA α0. (2)用2k -A乘以（2）式，得12k l -=Aα0.因为1,k -≠Aα0所以20.l =这时，（2）式成为213k k l l -++=A αA α0. (3)按照同样的做法，可证30k l l ===.所以21,,,,k -αA αA αA α线性无关.提高题5-11.证：令 2121111122221,,,,,1,,,,,,TTs s s k k kk k k--⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦b b b211,,,,Ts s s s k k k -⎡⎤⎣⎦。

因为i j ≠时，i j k k ≠,所以12121,,,()0,,,,s j i s i j sk k ≤<≤=-≠∑b b b b b b 线性无关.根据定理5-5可知，12,,,s a a a 线性无关.2.证：由11,=A αα2122,=+A ααα3233=+A ααα，得1(),-=A E α021()2,-=A E αα32()3-=A E αα。

设112233k k k ++=ααα0， (1) 用-A E 乘以（1）式，得213223k k +=αα0 （2）再用-A E 乘以（2）式，得316k =α0因为1,≠α0所以30k =。

由（2）式可得，20k =，再由(1)式可得，10k =。

所以向量组123,,ααα线性无关。

思考题5-21．（1) 不正确。

当()r r =A 时，A 中有一个r 阶非奇异子阵就行，不需要所有r 阶子阵都是非奇异的. (2) 正确。

（3）正确。

因为A 的行秩与列秩相等，当A 为方阵时，A 的秩与A 的行数和列数的大小关系是一样的，所以A 的行向量组和列向量组有相同的线性相关性.（4）不正确。

例如，对于111,1,()(),00r r ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B AB B 但A 不是可逆矩阵.（5）正确。

由=AB O ，得()()()0,()(),r r n r r r n +-≤=+≤A B AB A B 其中n 为A 的列数。

由A 和B 都是n 阶非零矩阵，可得()1,()1r r ≥≥A B 。

再根据()()r r n +≤A B ，可得(),()r n r n <<A B 。

所以A 和B 都是降秩矩阵.2.当A 为方阵时，A 为降秩矩阵⇔A 是奇异矩阵⇔A 不可逆⇔=Ax 0有非零解⇔A =x b 无解或有无穷多个解⇔A 的行向量组（列向量组）线性相关。

习题5-21.注：求秩时行变换和列变换都可用。

(1)()4r =A ; (2)()3r =B 。

2. 解：3144122311111111111101101101123401220122351702240112r r r r r b b b a a a -÷-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A 3224421111111101120112012200100110002r r r r r r a a b b -↔-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 所以12a b =⎧⎨≠⎩或12a b ≠⎧⎨=⎩. 3.证：必要性 因为A 和B 等价，所以用初等变换能将A 化为B 。

又因为初等变换不改变矩阵的秩，所以()().r r =A B充分性 设()(),r r r ==A B 则A 和B 有相同的等价标准形r⎡⎤=⎢⎥⎣⎦E OF O O ，即用初等变换可将A 和B 化成r⎡⎤=⎢⎥⎣⎦E OF O O 。

因为初等变换是可逆的，所以用初等变换也可将r⎡⎤=⎢⎥⎣⎦EO F O O 化成B ，因而用初等变换能将A 化为B ，A 和B 等价。

4.证：因为()1r =A ，所以存在可逆矩阵P 和Q ，使得100000,000⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦PAQ []1111100100001,0,,0,0000----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A P Q P Q令[]1110,(1,0,,0),0T --⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦a Pb Q 则.T =A ab5.证：因为()()()m r r r m ==≤≤E AB A ，所以()r m =A 。

又因为()r n ≤A ，所以m ≤n . 同理可证，()r m =B 。

6.证：由=C AB 为可逆矩阵，得()r m =C 。

由()()()m r r r m ==≤≤C AB A ，得()r m =A 。

因为()r n ≤A ，m ≠n ，所以m <n ，()r n <A 。

同理可证，()r m =B 。

因而A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性无关.7.证：由=AB O ，得()()()0,()().r r k r r r k +-≤=+≤A B AB A B 8.证：由26+-=A A E O ，得(3)(2).+-=A E A E O 根据第7题可得 (3)(2).r r n ++-≤A E A E又因为(3)(2)[(3)(2)](5),r r r r n ++-≥+--≥=A E A E A E A E E 所以(3)(2).r r n ++-=A E A E9.证：（1）当()r n =A 时，10,0,().n r n -**≠=≠=A A A A（2）当()1r n =-A 时，0,.*=≠A A O由*==AA A E O ，得()(),r r n *+≤A A ()() 1.r n r *≤-=A A由,*≠A O 又得() 1.r *≥A 所以() 1.r *=A（3）当()2r n ≤-A 时，,()0.r **==A O A10.证：AB 为m 阶方阵，因为()()r r n m ≤≤<AB A ，所以AB 为降秩矩阵，0.=AB提高题5-21.证： 因为()r r =A ，所以存在可逆矩阵P 和Q ，使得,r⎡⎤=⎢⎥⎣⎦EO PAQ O O[]1111,,r rr ----⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦E EO A P Q P E O Q OO O 令[]11,,,r r --⎡⎤==⎢⎥⎣⎦E B PC E O Q O 则B 和C 的秩都为r ，分别为m r ⨯矩阵和r n ⨯矩阵，且.=A BC2. 证： 设()r r =A ，则存在可逆矩阵P 和Q ，使得,r⎡⎤=⎢⎥⎣⎦EO PAQ OO 11111,rr-----⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦E O E O A P Q P Q Q Q OO O O 令111,,r---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦E O B P Q C Q Q OO 则2=C C ，且.=A BC 3. 证法1：因为(),r k =A 所以()()()()r r r k r ≥+-≥AB A B B . 又因为()()r r ≤AB B ，所以()().r r =AB B证法2：T A A 为k 阶方阵，由()()Tr r k ==A A A 知，TA A 为可逆矩阵。

于是，()()(),T r r r =≤B A AB AB 即()().r r ≥AB B又因为()(),r r ≤AB B 所以()().r r =AB B注：当A 的秩等于其列数时，称A 为列满秩矩阵。