第五章 相似矩阵及二次型一、判断题1.线性无关的向量组必是正交向量组.( )2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( )3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( )4.若n 阶矩阵A 与B 相似,则A 与B 不一定等价.( )5.若n 阶矩阵A 有n 不同的特征值，则A 相似于对角矩阵.( )6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( )7. 相似矩阵的行列式必相同.( )8.若n 阶矩阵A 和B 相似，则它们一定有相同的特征值.( )9．n 阶实对称矩阵A 的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( )10. 若A 是正定矩阵，则A 的特征值全为正.( )二、单项选择题1. 设001010100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值是( ).(A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,22. 若12,x x 分别是方阵A 的两个不同的特征值对应的特征向量,则1122k x k x +也是A 的特征向量的充分条件是( ).(A) 1200k k ==且 (B) 1200k k ≠≠且 (C) 120k k = (D) 1200k k ≠=且3. 若n 阶方阵,A B 的特征值相同,则( ).(A) A B = (B) ||||A B = (C) A 与B 相似 (D) A 与B 合同4. 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值,则*A 的特征根之一是( ).(A) 1||n A λ- (B) 1||A λ- (C) ||A λ (D) ||n A λ5. 矩阵A 的属于不同特征值的特征向量（ ）.(A)线性相关 (B)线性无关(C)两两相交 (D)其和仍是特征向量6. ||||A B =是n 阶矩阵A 与B 相似的( ).(A)充要条件 (B)充分而非必要条件(C)必要而非充分条件 (D)既不充分也不必要条件7. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似,则( ).(A) ()r A n = (B) A 有n 个不同的特征值(C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称阵8.n 阶对称矩阵A 正定的充分必要条件是（ ）. (A) 0A > (B)存在矩阵C ，使T A C C =(C)负惯性指数为零 (D)各阶顺序主子式为正9．设A 为n 阶方阵，则下列结论正确的是（ ）.(A)A 必与一对角阵合同(B)若A 的所有顺序主子式为正，则A 正定(C)若A 与正定阵B 合同，则A 正定(D) 若A 与一对角阵相似，则A 必与一对角阵合同10．设A 为正定矩阵，则下列结论不正确的是（ ）.(A)A 可逆 (B)1A -正定(C)A 的所有元素为正 (D)任给12(,,,)0,T n X x x x =≠均有0T X AX >二、填空题1. n 阶零矩阵的全部特征值为_______.2. 若A A =2，则A 的全部特征值为_______.3. 设三阶矩阵A 的特征值分别为-1,0,2,则行列式2A A I ++= .4. 特征值全为1的正交阵必是 阵.5. 若22311234A B y x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭相似与，则x = ，y = . 6.二次型212312233(,,,)2f x x x x x x x x =++的秩为 .7.若2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 的取值范围是 . 8.设21101000A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是正定矩阵，则a 满足条件 .9．二次型1212(,)f x x x x =的负惯性指数是__________.10．二次型112213(,)12x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为 . 三、计算与证明题1. 试用施密特法把下列向量组正交化:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a . 2. 下列矩阵是不是正交阵:(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---121312112131211;(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------979494949198949891. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵.4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵.5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212; (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛633312321;(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001001001000. 6. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同.7. 设n 阶矩阵A 、B 满足R (A )+R (B )<n , 证明A 与B 有公共的特征值, 有公共的特征向量.8. 设A 2-3A +2E =O , 证明A 的特征值只能取1或2.9. 设A 为正交阵, 且|A |=-1, 证明λ=-1是A 的特征值. 10. 设λ≠0是m 阶矩阵A m ⨯n B n ⨯m 的特征值, 证明λ也是n 阶矩阵BA 的特征值.11. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3-5A 2+7A |. 12. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |. 13. 设A 、B 都是n 阶矩阵, 且A 可逆, 证明AB 与BA 相 似.14. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=50413102x A 可相似对角化, 求x . 15. 已知p =(1, 1, -1)T是矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量. (1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值;(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由.16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022; (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----542452222.17. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.18. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A .19. 设3阶对称阵A 的特征值为λ1=1, λ2=-1, λ3=0; 对应λ1、λ2的特征向量依次为p 1=(1, 2, 2)T , p 2=(2, 1, -2)T , 求A .20. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .21. 设a =(a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n )T , a 1≠0, A =aa T .(1)证明λ=0是A 的n -1重特征值;(2)求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量.22. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=340430241A , 求A 100. 23. 在某国, 每年有比例为p 的农村居民移居城镇, 有比例为q 的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n (x n +y n =1).(1)求关系式⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n y x A y x 11中的矩阵A ; (2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛5.05.000y x , 求⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y x . 24. (1)设⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3223A , 求ϕ(A )=A 10-5A 9;(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122221212A , 求ϕ(A )=A 10-6A 9+5A 8. 25. 用矩阵记号表示下列二次型:(1) f =x 2+4xy +4y 2+2xz +z 2+4yz ;(2) f =x 2+y 2-7z 2-2xy -4xz -4yz ;(3) f =x 12+x 22+x 32+x 42-2x 1x 2+4x 1x 3-2x 1x 4+6x 2x 3-4x 2x 4. 26. 写出下列二次型的矩阵:(1)x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1312)(T f ; (2)x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=987654321)(T f . 27. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形:(1) f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3;(2) f =x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 3x 4.28. 求一个正交变换把二次曲面的方程3x 2+5y 2+5z 2+4xy -4xz -10yz =1化成标准方程.29. 明: 二次型f =x T A x 在||x ||=1时的最大值为矩阵A 的最大特征值.30. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵(1) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3;(2) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3;(3) f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3.31. 设f =x 12+x 22+5x 32+2ax 1x 2-2x 1x 3+4x 2x 3为正定二次型,求a.32.判别下列二次型的正定性:(1) f=-2x12-6x22-4x32+2x1x2+2x1x3;(2) f=x12+3x22+9x32+19x42-2x1x2+4x1x3+2x1x4-6x2x4-12x3x4. 33.证明对称阵A为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵U,使A=U T U,即A与单位阵E合同.。