[例] 判断 ABC与 DEF是 否平行。
过 DEF内的任意点 K的水平投影k作km ab， 作kn cb，并求出相应的 k’m’,k’n’;
由图中可看出，k’m’ a’b’, k’n’ c’b’, 所以 两三角形互相平行。
b'
e'
c' n'
m'
a' X
d' k'
f' O
a
c
k
f
dn
m
b
e
KM AB KN CB
c'
C
A
AB CD AB EFG
a'
X a
PH
b' g' d'
c'
f'
e' e bc
O f d
g
c dPH a AB平行于P a'
b
H b'
X
O
PH
b
a
平行
[例] 判断直线AB与 CDE是否平行。
JK系列
例
在三角形内作df平行于ab，求出d’f’,因d’f’不平行于a’b’,
可知AB与 CDE不平行。
面 面
平
行
几何条件：若平面内有两条相交直线与另一平面内的两条相
交直线对应平行，则这两平面平行。
当两个投影面垂直面相互平行时，它们的积聚投影也互相平
行。
a'
C P D Q b'
AB F E
X
f' e' c' d' O X
H
b
cd
QH
O PH
PQ
af
e
两平面的积聚投影平行
两平面平行
QP
平面与平面平行
例 JK系列
ba
a' c'
k'
l'
a' k'
b'
d'
c
c
a k
k(l)
b
b
a(l)(b) a(b)
l' c' b'
c' a'
b' k' d'
e'
d'k' a'
g'
b' e' l' c'
f'
a(k)(b) c
k
d距离
cc
l
实长 a
l b
a
d
d(g) k b
b ke a
c l e(f)
JK系列
当直线或平面处于一般位置时，要解决空间几何元素间的 度量问题和定位问题，解题步骤繁复，图线也很杂乱。
分别过ac与p的交点m和 bc与p的交点n向上作垂线， 与a’c’和b’c’分别相交于m’ 和n’；连接m’n’即为交线。
从H投影可知，amnb在平 面p之前，所以V投影a’m’n’b’ 为可见。m’c’n’ 与p’的重影 部分为不可见。
不 可 见
p’ a’ m’
c’
n’
X
c
n
pH m a
可 见 b’
CE和正平线AD，并过m及m’点 分别作mn ce，m’n’ a’d’，则
a'
直线MN ABC。
X
2 求MN与 ABC的交点K，
并判断其投影的可见性。
b'
n’
d'
e' k’
m’
bm e
JK系列
例
c'
O
a
k
d
n
c
直线与平面垂直（续）
[例] 求点A到直线MN的距离。
距
离
实 长
m'
1. 过点A作水平线AB MN，
两三角形平面互相平行
直线与平面垂直
直线与一般面垂直 几何条件：若一直线 (相交
或交叉)垂直于平面上的任意两 条相交直线，则此直线必垂直 于该平面。
在投影图上作平面的垂线 时，可作出平面的水平线和正 平线作为面上的相交二直线。 此时所作垂线与水平线所夹的 直角，其H投影仍为直角；垂 线与正平线所夹的直角，其V 投影仍为直角。
b1'
V
V1
b1' a'
b'
α
a'
O1
a1' α
B α
a1'
A O1
X V1
X1
a Hb
X1 H
平行
a
JK系列一
般 线 换 成 平 行 线
b'
V HX
b
[例] 求线段AB的实长及倾角β。
a1
（应设立平面V1平行于线
β
b1
段AB，则新轴O1X1∥a’b’。）
O1 a' O
H1 X1 V
b'
V H
X
JK系列
V H
ax
ax
A
X a
a
ax1
ax2
a2
H
H X1
V1
a'1
换去V面
H2 换去H面 V1
X2
JK系列点 的 两 次 换 面
X2
V1
a'1
ax1
X1
换面法的六个基本作图问题
1. 一般线变换成新投影面平行线；
一次换面
2. 投影面平行线变换成新投影面垂直线；
3. 一般线变换成新投影面垂直线。 二次换面
4. 一般面变换成新投影面垂直面；
不平行 b'
c'
f'
e'
a'
d'
X
平行 a
d bc
O
e f
[例] 过点A作水平线AB平行于 CDE，AB长20mm. 在三角形内作一水平线DF（df, d’f’），并过点a作
ab平行于df，使ab长为20mm, 并求出a’b’。
a'
b' c'
d'
f'
e'
X
O
bc f
e
a
d
平行
JK系列
例
JK系列
平面与平面平行
[例] 求点到平面的距离 解题步骤：
1. 过点K作直线KE垂直于△ABC; 2 . 求直线KE与△ABC的交点H; 3 . 求直线KH的实长即为点到平面
的距离。
有什么办法将 一般位置的几 何元素转化为 特殊位置，以 利于解题呢？
k' c'
n'
a'
e'
d'
h'
b' me''
an
d
TL
h
e c
e
m kb
AB 2. 连d’e’。d’e’与b’c’交于
c'
e'
f’，在de边上作出对应点f，连 bf并延长与c’的垂直投影线相 交得c点。
X
d
A
D
c
空间解决
B
FC
f
e
E
JK系列
例
b' a'
O
a b
平面与平面垂直
JK系列 二平 面垂 直
几何条件 : 若一个平面通过另一个平面的一条垂线 , 那么
这两个平面相互垂直。 也就是说 , 一平面上如有一直线垂直
二垂直面相 交
交线垂直 于H面
AQ P
H
QH B PH
a’ 交线是
RV S V
铅垂线
c’
b’
（d’）
X
OX
O
a
（b）
QH
PH
d 交线是
正垂线 c
JK系列
平面与平面相交 关键是求平面与平面的公有线——交线
一般面与投影面垂直面相交 可利用平面有积聚性的投影求出两平面的交线。
垂直面与一般面 相交
[例] 求铅垂面P与三角形ABC的交线，并判断其投影的可见性。
旋转法（绕投影面垂直线旋转）
JK系列
目 录
JK系列
当直线或平面处于特殊位置时，要解决空间几何元素间的
特
殊线面的源自度量问题和定位问题，均可从其投影图上直接解答。例如：
几 何 问 题
a' b' a'
TL
b' a'
b' c' a'

b' c' k'
a' k' a' l' b' l' b'
a (b) a
b1' X1
c'1
c'
B
C
X
c
b
a
换 面
H
法
旋转法
投影体系不动，空间几何元素绕一 轴线旋转，使之达到有利于解题的位置。
JK系列
旋 转 法
V α
a'1
b' 正平线
a'
B
一般位置直线
αα
A1
O
A
O b a1
aH
换面法的基本规定
JK系换列面 法的 规定
（1） 每次只能更换一个投影面，且新投影面必须与原体系
例
平 行
b a
投影面平行线换成投影面垂直线
一次换面
（新轴应垂直于直线的实长投影）
V
X1
b'