电磁场中的单杆模型
知识准备
1.感应电流的产生条件 2.感应电流的方向判断
3.感应电动势的大小计算
模型概述
在电磁场中，“导体杆”在平面
导轨上滑动切割磁感线，“导体 杆”中会产生感应电动势，闭合 电路中会产生感应电流，磁场又 会对“导体杆”施加安培力作用， 影响“导体杆”的运动。
电磁感应中的综合问题分析
B R/kL2 1T
6
4
F(N) 0 2 4 6 8 10 12
(3)由直线的截距可以求得金属杆受到的阻力f， f=2 (N) 若金属杆受到的阻力仅为滑动摩擦力，由截距可求得动 摩擦因数 μ=0.4
[06上海物理卷.12] 如图所示，平行金属导轨与水平 面成θ角，导轨与固定电阻R1和R2相连，匀强磁场垂 直穿过导轨平面．有一导 B 体棒ab，质量为m，导体 a R1 棒的电阻与固定电阻R1和 θ R2的阻值均相等，与导轨 b 之间的动摩擦因数为μ， R2 θ 导体棒ab沿导轨向上滑动， 当上滑的速度为v时，受到安培力的大小为F．此时 （A）电阻R1消耗的热功率为Fv／3． （B）电阻 R2消耗的热功率为 Fv／6． （C）整个装置因摩擦而消耗的热功率为μmgvcosθ． （D）整个装置消耗的机械功率为（F＋μmgcosθ）v·
F＋f＝ma， F＝ma－f＝ma－B2l 2v0/R ⑤ ∴ 当v0＜maR/B2l 2＝10米/秒 时， a m v F＞0 方向与x轴相反 ⑥ 0 R B 2 2 当v0＞maR/B l ＝10米/秒 时， F＜0 方向与x轴相同 ⑦ O x
（08全国卷2）24．（19分）如图，一直导体棒质 量为m、长为l、电阻为r，其两端放在位于水平面内 间距也为l的光滑平行导轨上，并与之密接；棒左侧 两导轨之间连接一可控制的负载电阻（图中未画 出）；导轨置于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大 小为B，方向垂直于导轨所在平面。开始时，给导 体棒一个平行于导轨的初速度v0。在棒的运动速度 由v0减小至v1的过程中，通过控制负载电阻的阻值 使棒中的电流强度I保持恒定。 导体棒一直在磁场中运动。 若不计导轨电阻，求此过程中 导体棒上感应电动势的平均值 和负载电阻上消耗的平均功率。
这类问题覆盖面广，题型也多种多样；但解决这类问 题的关键在于通过运动状态的分析来寻找过程中的临界状 态，如速度、加速度取最大值或最小值的条件等，基本思 路是：
确定电源 （E，r）
E I Rr
感应 电流
F=BIL
运动导体所 受的安培力 F=ma
v与a方向
临界 状态 运动状态 的分析 关系 a变化 情况
（1）若保持磁感应强度B0的大小不变，从 t＝0 时刻开始，给ab棒施加一个水平向右 的拉力，使它做匀加速直线运动。此拉力F 的大小随时间t变化关系如图乙所示。求ab 棒做匀加速运动的加速度及ab棒与导轨间 的滑动摩擦力。
（2）若从t＝0开始，使磁感应强度的 B 大小从B0开始以 t ＝0.20T/s的变化 率均匀增加。求经过多长时间ab棒开 始滑动？此时通过ab棒的电流大小和方 向如何？（ab棒与导轨间的最大静摩擦 力和滑动摩擦力相等）
解析：导体棒所受的安培力为：F=BIl………① 由题意可知，该力的大小不变，棒做匀减速运动， 因此在棒的速度从v0减小到v1的过程中，平均速度 1 为： v (v0 v1 ) ……………………② 2 当棒的速度为v时，感应电动势的大小为： E=Blv………………③ 棒中的平均感应电动势为： E Blv ………④ 1 综合②④式可得： E 2 Blv0 v1 ………………⑤ 2 P I r …………⑥ 导体棒中消耗的热功率为： 1 负载电阻上消耗的热功率为： P2 EI P1 ……⑦ 1 2 P Bl v v I r …………⑧ 由以上三式可得：2 0 1
A．导体棒ab中感应电流之比为1：2 B．电阻R中产生热量之比为1：2 C．沿运动方向作用在导体棒ab上的外力 的功率之比为1：2 D．流过任一横截面的电量之比为1：2
a a
AB
R
v b
B
l
R
E
I
x
b
一般方法
→判断产生电磁感应现象的那一部分 导体（电源） →利用 E N 或E=BLv求感应电动 t 势的大小 →利用右手定则或楞次定律判断感应 电流的方向 →分析电路结构，画出等效电路图。
y v0 B d x
E1＝B1v1 d＝3k v03d／16 a ．
解后小结
→与“导体单棒”组成的闭合回路 中 的磁通量发生变化 →导体棒产生感应电动势 →感应电流 →导体棒受安培力 →合外力 →加速度
三、单杆在磁场中变速运动
倾角为 30°的斜面上，有一导体框架，宽为 1m ，不计电阻，垂直斜面的匀强磁场磁感应 强度为 0.2T ，置于框架上的金属杆 ab ，质量 0.2kg ，电阻 0.1Ω ，如图所示 . 不计摩擦，当金 属杆ab由静止下滑时，求： (1)当杆的速度达到2m/s B a 时，ab两端的电压； L (2)回路中的最大电流和功率. b
02年上海 22 如图所示，两条互相平行的光滑金属导 轨位于水平面内，距离为l＝0.2米，在导轨的一端接有 阻值为R＝0.5欧的电阻，在x≥0处有一与水平面垂直的 均匀磁场，磁感应强度 B ＝ 0.5 特斯拉。一质量为 m ＝ 0.1 千克的金属直杆垂直放置在导轨上，并以 v0 ＝ 2 米 / 秒的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平 外力 F 的共同作用下作匀变速直线运动，加速度大小 为 a ＝ 2 米 / 秒 2 、方向与初速度方向相反。设导轨和金 属杆的电阻都可以忽略，且接触良好。求： （1）电流为零时金属杆所处的位置； a m v0 R B （2）电流为最大值的一半时施加 在金属杆上外力F的大小和方向； O x （3）保持其他条件不变，而初速度v0取不同值，求开 始时F的方向与初速度v0取值的关系。
y R O v0 B d x
解 : （1）金属杆在导轨上先是向右做加速度为a 的匀减速直 线运动，到导轨右方最远处速度为零，后又沿导轨向左做 加速度为a 的匀加速直线运动．当过了y 轴后，由于已离 开了磁场区，故回路不再有感应电流．
以t1表示金属杆做匀减速运动的时间，有 t1 ＝ v0 / a ．
解:（1）感应电动势 E＝B l v， I＝E/R ∴ x＝v02／2a＝1（米） ① ∴ I＝ 0 时 v ＝ 0 （2）最大电流 Im＝B l v0/R I′＝Im／2＝B l v0／2R 安培力 f＝I´Bl ＝B2l 2v0／2R =0.02N ② 向右运动时 F＋f＝ma F＝ma－f＝0.18（牛） 方向与x轴相反 ③ 向左运动时F－f＝ma F＝ma＋f＝0.22（牛） 方向与x轴相反 ④ （3）开始时 v＝v0， f＝ImB l＝B2l 2v0/R
30°
ห้องสมุดไป่ตู้
在磁感应强度为B的水平均强磁场中，竖直放置一个冂 形金属框ABCD，框面垂直于磁场，宽度BC＝L ，质 量 m 的金属杆 PQ 用光滑金属套连接在框架 AB 和 CD 上 如图 .金属杆 PQ电阻为 R，当杆自静止开始沿框架下滑 时：(1)开始下滑的加速度为多少?(2)框内感应电流的方 向怎样？(3)金属杆下滑的最大速度是多少?(4)从开始下 滑到达到最大速度过程中重力势能转化为什么能量?
AC
04年上海22 （14分）水平面上两根足够长的金属导
轨平行固定放置，间距为L，一端通过导线与阻值为R的 电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆（见图），金 属杆与导轨的电阻忽略不计；均匀磁场竖直向下.用与导 轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运 动.当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会 变化，v与F的关系如右下图.（取重力加速度g=10m/s2） （1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？ （2）若m=0.5kg,L=0.5m,R=0.5Ω;磁感应强度B为多大？ （3）由v-F图线的截距可求得什么物理量?其值为多少?
D
（08山东卷）22、两根足够长的光滑导 轨竖直放置，间距为L ，底端接阻值为R 的电阻。将质量为m的金属棒悬挂在一个 固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良 好，导轨所在平面与磁感应强度为B 的匀 强磁场垂直，如图所示。除电阻R 外其余 电阻不计。现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放．则 A．释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g B．金属棒向下运动时，流过电阻R 的电流方向为a→b B 2 L2v C．金属棒的速度为v时．所受的安培力大小为 F R D．电阻R 上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少
二、单杆在磁场中匀变速运动
例2.如图甲所示，一个足够长的“U”形金属导 轨NMPQ固定在水平面内，MN、PQ两导轨间 的宽为L＝0.50m。一根质量为m＝0.50kg的 均匀金属导体棒ab静止在导轨上且接触良好， abMP恰好围成一个正方形。 该轨道平面处在磁感应强度 大小可以调节的竖直向上的 匀强磁场中。ab棒的电阻为 R＝0.10Ω，其它各部分电阻 均不计。开始时，磁感应强 度B0=0.50T。
模型讲解
一、单杆在磁场中匀速运动 二、单杆在磁场中匀变速运动 三、单杆在磁场中变速运动 四、变杆问题
一、单杆在磁场中匀速运动
例1.如图所示，水平放置的平行金属导轨左端 接一电阻R，匀强磁场方向垂直于导轨平面， 导体棒ab垂直导轨放在导轨上，并能无摩擦 地沿导轨滑动。导轨和导体棒的电阻均可忽 略不计．先后两次将导体棒ab从同一位置匀 a 速地拉离导轨。第一 次速度v1 = v，第二 v B l R 次速度v2 = 2v，在先、 后两次拉离导轨过程中 b
2
如图所示，两根相距为d的足够长的平行金属导轨位于 水平的xOy平面内，一端接有阻值为R的电阻．在x＞ 0 的一侧存在沿竖直方向的非均匀磁场，磁感强度B随x 的增大而增大，B＝kx，式中的k是一常量．一金属直 杆与金属导轨垂直，可在导轨上滑动．当t=0 时位于 x=0处，速度为v0，方向沿x轴的正方向．在运动过程中， 有一大小可调节的外力F作用于金属杆以保持金属杆的 加速度恒定，大小为ａ，方向沿x轴的负方向．设除外 接的电阻R外，所有其他电阻都可以忽略．问： （1）该回路中的感应电流持续的时间多长？ （2）当金属杆的速度大小为v0／2 时，回路中的感应 电动势有多大？