【分类2】 一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y);
高阶(n)微分方程 F ( x, y, y, , y(n) ) 0,
y(n) f ( x, y, y, , y(n1) ).
【分类3】线性与非线性微分方程. y P( x) y Q( x), x( y)2 2 yy x 0;
dx yy 2xy 3,
dx x sint t 2 , dt y cos y 1,
线性的; 非线性的.
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11
一阶线性微分方程的解法
1）. 解齐次方 程
dy P(x)y 0 dx
分离变量
两边积分得 故通解为
ln y P( x)dx ln C
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
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5
主要内容
一阶方程
基本概念
类型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程
7.伯努利方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根 定 及其对应项
y C e P( x)dx
2）. 解非齐次方程
dy P(x) y Q(x) dx
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12
用常数变易法: 作变换 y( x) u( x) e P( x)d x , 则 u e P( x)d x P( x) u e P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y( x0 )
y0 ,
y( x0 )
y0 ,
,
y(n1) ( x0 )

y (n1) 0
引例1
dy dx

2x
y x1 2
引例2
d2 y dx2


0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0
20
通解: y x2 C
s 0.2 t 2 C1t C2
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是F ( x, y, y, , y(n) ) 0
或 y(n) f ( x, y, y, , y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
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3
【分类1】常微分方程, 偏微分方程.
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
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13
3）、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1) dx
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
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7
二、一阶微分方程求解
1、可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy dx

f1( x) f2( y)
M1( x) M2( y)dx N1( x) N2( y)d y 0
转化
g( y)dy f ( x)dx
解分离变量方程
两边积分, 得 则有
f (x)dx
1
第十二章
习题课
微分方程
一、微分方程的概念
二、一阶微分方程求解
三、可降阶的高阶微分方程求解
四、常系数齐次线性微分方程求解
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2
一、微分方程的概念
含有自变量、未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类 偏微分方程
【例】 y xy, y 2 y 3 y e x , (t 2 x)dt xdx 0, z x y, x
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8
2、齐次方程
属于一阶微分方程 y f ( x, y)
1）.【定义】形如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程. dx x
2）. 【解 作变量代换 u y , 即 y xu,
法】
x
dy u x du ,
dx
dx
代入原式
u x du f (u), dx
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x.
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10
3、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的. 当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
【例如】 dy y x2 ,
【分类4】单个微分方程与微分方程组.
dy dx

3
y

2z,

dz

2y

z,
dx
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4
微分方程的解 ---使方程成为恒等式的函数.
通解 --- 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相等.
特解 --- 不含任意常数的解,其图形称为积分曲线.
定解条件 --- 确定通解中任意常数的条件.
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
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当 f (u) u 0时,
得

f
du (u)
u

ln C1x ,
即 x Ce(u) , 将 u y 代入,
x
（ (u)


f
du (u)
） u
得通解
x

( y)
Ce x ,
当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
即
非齐次方程
dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ P(x) y Q(x)
dx
两端积分得 u Q( x) e 对应齐次方程通解
P(
y
x)d

x
dx
Ce
PC( x
)dx
故原方程的通解
y

e
P( x)d
x

Q(
x)
e

P(
x)d
x
d
x

C

即 y Ce P( x)d x e P( x)d x Q( x) e P( x)d xd x
系 数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程
可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
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6
微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分 分方 离程
特征方程法
待定系数法
幂级数解法