y
M
y
M
x o x0
o
x0
x
图1
图2
思思考考1：1这:两这个函两数个图像函有何数共同图特象征：有函数何图像共上同最高特点的征纵？坐标叫什么名称？
图函像均数有图最高象点上，图最像最高高点点的的纵坐纵标坐是所标有叫函数什值中么的名最大称值，？即函数的最大值
思考 2：高函数 y=f(x) 图像上最高点的纵坐标为 M ，则对函数定义域内任意自变量
cx d
3.形如 y=
(a 0 )型的函数可借助反比例函数求其值域，这种方法也常被称为分离常
ax b
c
6
数法。这种函数的值域为 {y|y
}
a
例 4：求函数 y= 3x 1 的值域。 x2
4.利用单调性求值域： 当函数图像不好作或作不出来时，单调性成为求值域的首选方法。
x
例 5：求函数 f(x)=
在区间［ 2,5 ］上的最大值与最小值。
最高点必须是函数图像上的点，因此若 f(x) 的值域是（ a,b ），则 f(x) 没有最大值。
2
知知识识探探究究二（二）
观察观下察列两下个函列数两图像个： 函数的图象：
y y
m
m
o
x0
x
图1
x0 o
x
图2
思思考考1：1这:两这个两函数个图像函上数各有图一象个最各低有点，一函个数图最像低上最点低，点的函纵数坐标图叫什么名称？
（ 2） 存 在 x0 I, 使得 f(x0 )=M.
那么，我们称 M 是函数 y=f(x)的最大值（ maximum value）
思考 5:函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？如果函数
f(x) 的值域是 （a,b）,则函数 f(x)
存在最大值吗？
最大值是函数值域中的一个元素，函数图像上有最高点时，这个函数才存在最大值，
。
1
x,f(x) 与
f(x) 2 成立，但 f(x) 的最大值不是 2, 因为找不到一个自变量 x., 使得 f(x)=2 成立 思考 4：怎样定义函数 f(x) 的最大值？用什么符号表示？
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
（ 1）对 于任意的 x I ，都有 f(x) M ；
象上最函数低图点像的上最纵低坐点的标纵叫坐标什称么为名函数称的？最小值。
思考 2：仿照函数最大值的定义，怎样定义函数 f(x) 的最小值？
思考一2般: 仿地，照设函函数数最大f(值x)的的定定义义域，为怎样I，定如义果函存数在实数 M 满足： f x 的最小值？
（ 3）对 于任意的 x I ，都有 f(x) M ；
有 f(x) f(y), 若 f(x)+f(x-3) 2,求 x 的取值范围。
(3) 当 x y 时，
5
1 2. 已知函数 f(x) 的定义域为 R，且 f( )=2, 对任意 m ,n R 都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1, 当
2 1 x - 时， f(x) 0 . 2
1 (1).求 f(- )的值。
我们将在后面的专题
3
证明函数单调性作差中常用方法
例 1 证明函数 f(x)=x 3 +x 在 R 上是单调增函数。 配方法
例 2 证明函数 f （ x ）= - x 在定义域上是减函数。 分子有理化
ax
例 3 讨论函数 f(x) ＝
在 x (-1,1) 上的单调性，其中
x2 1
含字母参数时，要讨论参数范围
2a
2a
b 4 ac b 2
有最小值 f( )=
,无最大值。
2a
4a
b
b
当 a 0 时， f(x) 在（ - ,- ）为增函数，在（ - ， + ）为减函数，在定义域 R 上
2a
2a
b 4 ac b 2
有最大值 f( )=
,无最小值。
2a
4a
二次函数是闭区间上的最值问题是高考考查重点和热点内容之一， 中具体讲解。
（ 4） 存 在 x0 I, 使得 f(x0 )=M.
那么，我们称 M 是函数 y=f(x)的最小值（ minimum value）
2
理论迁移
例 1 “菊花”烟是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果
烟花距地面的高度 h 米与时间 t 秒之间的关系为 h(t )=-4.9t 2 +14.7t+18, 那么烟花冲出后什么
2. 反比例函数： f(x)= (k 0)，在定义域（ - ， 0） （ 0,+ ）上无单调性，也不存在 x
3
最值。 当 k 0 时，在（ - ，0），（ 0,+ ）为减函数； 当 k 0 时，在（- ，0），（ 0,+ ）
k 为增函数。在闭区间［ a,b ］上，存在最值，当 k 0 时函数 f(x) 的最小值为 f(b)= ,
2 （ 2）求证 f(x) 在定义域 R 上是增函数。
函数单调性的应用
1. 利用函数的单调性比较函数值的大小
例 1 如果函数 f(x)=x 2 +bx+c, 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t), 比较 f(1) ， f(2) ， f(4) 的大小。
例 2 已知函数 y=f(x) 在［ 0,+
a 为非零常数。
4
常用结论
例 4 讨论函数 f(x)=
1
的单调性。
2
x x1
总结： 1.函数 y=-f(x) 与函数 y=f(-x) 的单调性相反。
2. .函数 y=f(x)+c 与函数 y=f(x) 的单调性相同。
3.当 c 0 时，函数 y=cf(x) 与函数 y=f(x) 的单调性相同，当 c 0 时，函数 y=cf(x) 与
的最小值为 f(m)=km+b, 最大值为 f(n)=kn+b, 当 k 0 时 , 函数 f(x) 的最小值为 f(n)=kn+b ，
最大值为 f(m)=km+b 。
4. 二次函数： f(x)=ax 2 +bx+c,
b
b
当 a 0 时， f(x) 在（ - ,- ）为减函数，在（ - ， + ）为增函数，在定义域 R 上
b
最大值为 f(a)= k , 当 k 0 时, 函数 f(x) 的最小值为 f(a)= k ，最大值为 f(b)= k 。
a
a
b
3. 一次函数： f(x)=kx+b(k 0),在定义域 R 上不存在最值，当 k 0 时， f(x) 为 R 上的增，
当 k 0 时， f(x) 为 R 上的减函数，在闭区间［ m,n］上，存在最值，当 k 0 时函数 f(x)
函数 y=f(x) 的单调性相反。
4.若 f(x) 0,则函数 f(x) 与 1 具有相反的单调性。 f ( x)
5.若 f(x) 0，则函数 f(x) 与 f ( x) 具有相同的单调性。
6.对于函数 f(x) 与 g(x) 可以总结为：
增 +增＝增，增—减＝增，减 +减＝减，减—增＝减
7.当函数 f(x) 和 g(x) 的单调性相同时，复合函数 y=f ［ g(x) ］是增函数；
时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到
1 米）？
例 2 已知函数 f(x)= 2 (x ［2,6 ］),求函数的最大值和最小值。 x1
归纳基本初等函数的单调性及最值
1. 正比例函数： f(x)=kx(k 0) ，当 k 0 时 ,f(x) 在定义域 R 上为增函数；当 k 0 时 ,f(x) 在 定义域 R 上为减函数， 在定义域 R 上不存在最值， 在闭区间 ［ a,b ］上存在最值， 当 k 0 时函数 f(x) 的最大值为 f(b)=kb, 最小值为 f(a)=ka, 当 k 0 时 , , 最大值为 f(a)=ka ，函数 f(x) 的最小值为 f(b)=kb 。 k
x1
5. 分段函数的最值问题 分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求
分段函数函数的最大或最小值，应该先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小值。
例 6：已知函数 f(x)=
2
1
x ,(
2
1 , (1 x
x
x 1) 求 f(x) 的最大最小值。
2)
3．利用函数的单调性求参数的取值范围
已知函数的单调性， 求函数解析式中参数的范围， 是函数单调性的逆向思维问题。 这类问题 能够加深对概念、性质的理解。
例 3 已知 f(x)=x 2 -2(1-a)x+2 在（ - ， 4）上是减函数，求实数 a 的取值范围。
例 4 已知 A＝［ 1,b ］ (b
1 ), 对于函数
M思的考大小2关: 系设如函何？数 y=f(x) 图象上最高点的纵坐标为 M ，
对则函对数定函义数域内定任义意自域变内量任x意，均自有变f(x量) M成x立，。f(x) 与 M 的大小
思关考系3：如设何函数？f(x)=1- x 2 ,则 f(x) 2 成立吗？ f(x) 的最大值是 2 吗？为什么？
2
-x
x 2 的最大值和最小值。
注意函数的定义域。
例 2：求 f(x)=x 2 -2ax+x2,x ［-1,1 ］ , 求 f(x) 的最小值 g(a).
3 - 2a, a 1
g(a)= 2
2
a,1
a
1
3 2 a, a 1
2.形如 y=ax+b cx d 的形式，可用换元法，即设 t＝ cx d ，转化成二次函数再求值 域，（ 注意新元 t 的范围 t 0） 例 3：求函数 y=x+ 2 x 1 的值域。