对称式，所以该代数式一定可以表示为三元基本对称式的组合．
原式
．
标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：整体代入求值
思维拓展
拓展1
若
，
，则
（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 以 ， 为主元，
由题设得
，
∴
，
∴
．
标注 式 > 整式的乘除 > 整式的乘除运算 > 整式乘除的运算及化简求值
拓展2
化简分式：
已知
，求
答案 ； ．
解析 由已知得 ⑴如果分子
⑵如果分子 此时，
．
，则由分母推得
．此时，
．
，则
，
．
．
标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：分式化简求值综合
巩固4
的值．
已知 ， ， 满足
，
值为多少？.
答案
或
解析 由
所以 即 所以 如果
，可得： ．
，
，或
．
，那么
，即
．
，那么
的
．
则 即 综上
，所以 或
拓展5
若 答案 证明见解析． 解析 方法一：
，求证
．
即 方法二： 即 故 则 故
，
， ．
等式两边同时除以 ，可得
， ，
，
进而
，
则
，
故
，从而
．
故
，
展开并化简，可得
，
即
，从而
．
故
．
标注 式 > 分式 > 分式的基础 > 题型：分式基本性质的运用
三、巩固加油站
巩固1
解答下列问题：
(1) 设
，求
．
(2) 已知
例题4
（等比性质），
已知
，且
，则
为
．
答案
解析 设 故 又
，又
，
故
．
标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：分式条件化简求值
例题5
解答下列问题： (1) 若
(2) 已知实数 、 、 满足
的值是
．
，则 与
答案 (1) (2)
解析 (1) 由
可知，
=
．
，则
展开有 故 (2) 因为 所以， 故
． ，
，求代数式
的值．
答案
(1) ． (2) ．
解析 (1) 标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：分式条件化简求值 巩固2
实数 、 满足 A.
，记 B.
答案 B
解析 将 分别代入 和 ，则
， C.
，则 与 的关系是：（ ） D. 不确定
．
．所以
．
标注 式 > 分式 > 分式的运算 > 分式的混合运算 巩固3
， ，
．
． 标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：整体代入求值
二、分式的证明
经典例题
例题6
设 、 、 满足
，求证：
．
答案 证明见解析 解析 由式子
可得到
，即
，
所以如果
．那么
．即
．
所以
，或
，
所以 、 、 三个数中必有两个数互为相反数．
不妨设 和 互为相反数．那么．所以式子左边
，即 式子右边．
又当 时，
，
所以，得到的所有代数式的值的和等于
．
标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：整体代入求值
例题3
若 答案 或 ．
，求
的值．
解析 方法一：法一：叠加法．
若
，则
，
，
，原式
；
若
，则
，
此时
，
，
，原式
．
法二：轮换法．
由
得
，分解即
，
同理可得
，
．
若
，则
，
，
，原式
；
若
，则
，即
，原式
．
法三：硬解法．
标注 式 > 分式 > 分式的运算 > 题型：分式乘除、乘方混合运算
例题7
设 ， ， 为互不相等的非零实数，且
，求证：
．
答案 证明见解析
解析 由已知 同理 所以
．可得到
，
．
．
，所以
．
标注 式 > 分式 > 分式的基础 > 分式的基本性质
铺垫
若
，求证：
．
答案 见解析
解析 解法 ：因为 则
，故 ， ， ．
答案
．
解析 方法一：换元：令 原式
，则
方法二：原式中只出现了 和 元法．
的形式，而且
，因此可用换
令
，则
．
原式
．
故答案为：
．
标注 式 > 分式 > 分式的运算 > 题型：分式加减、乘除混合运算
拓展3
已知 值．
，求代数式
答案
解析 方法一：法一：∵
，
∴
∴原式左边
法二：∵
，
∴
∴原式左边 法三：换元法，有条件
． ．
标注 式 > 分式 > 分式的运算 > 题型：分式加减、乘除混合运算
巩固5
已知
，求关于 的方程
的解．
答案
解析 原方程可化为
因为
，所以
，
，
，
．
标注 方程与不等式 > 分式方程 > 分式方程的解与解分式方程
巩固6
已知
，
，
，则
答案
.
解析 由题意，
，
则原式
，
第15讲 分式恒等变形
一、分式求值
知识导航
分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，具 有很强的技巧性。
在给定的条件下，对分式进行求值计算，是常见的分式恒等变形的一种题型。
经典例题
例题1
解答下列问题：
(1) 若
，
，则式子
(2) 已知
，则
的值为
．
．
答案 (1) (2)
．
，…， ， ， ，…， ， ， 时，代数式
答案
(1) C (2)
解析 (1)
因为
，
即当 分别取值 ， 为正整数）时，
计算所得的代数式的值之和为 ；而当 时，
因此，计算所得各代数式的值之和为 ．
故选 ．
(2) 当 为实数时，把 与
分别代入代数式
． 中，
得到的两个值的和是
，
所以，若将 代入代数式
，， ， ， ， ， ， , ， 中求值，得到的所有值的和是 ，
解析
(1) 略． (2) 略．
标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：整体代入求值
例题2
请回答下列各题： (1) 当 分别取值 ， ， ，…， ， ， ，…， ， ， 时，计算代数式 的值，将所得的结果相加，其和等于（ ）．
A. ．
B. ．
C. ．
D. ．
(2) 当 依次取 ， ，
的值的和等于
令
，
则
，
，
，
相加得
．
若
，则
，
，
，原式
；
若
， ，此时
，
，
，原式
．
法四：
令
，
若
，则
，
，
，原式
；
若
，则
，
此时
，故原式
．
法五：令
，
则 ① ② ③有
①，
②，
③
，即
，
故有 或
．
当 时，
，
时 方法二：若
，则
．
,
,
，故
；
若
，则
故有
，从而可知
．
故答案为： ．
标注 式 > 分式 > 分式的运算 > 题型：分式加减、乘除混合运算
，
注意到
，故上式
．
解法 ：因为
，故 ， ， ．
则
． 标注 式 > 分式 > 分式的基础 > 题型：分式基本性质的运用
例题8
已知
，
，
答案
．
解析 方法一：代换法一． 由题知 考虑到 ∴原式
，求代数式
， ，
的值．
．
方法二：代换法二． 由题知 考虑到 ∴原式
， ，
．
方法三：基本对称式法．
观察到
，
，
是三元基本对称式，且待求代数式也是三元
时的非齐次转齐次式的方法．
的
， ， ，
．
， ， ， ．
令
，，
，，
则
，
∴原式左边
．
方法二：
同理
；
∴原式
．
故答案为： ．
方法三：原式
．
故答案为： ．
标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：分式条件化简求值
拓展4
若
，且
，求
的值．
答案 ．
解析 设
，
由已知可得
因此
而
即