令h(x)＝ln
x＋x＋
2 x
，则h′(x)＝
1 x
＋1－
2 x2
＝
x2＋x－2 x2
＝
1 x2
(x＋
2)(x－1)，
易知h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以a＝h(x)min＝h(1)＝3.
【方法总结】 已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的 方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过 解不等式确定参数范围；
答案：(1.25,1.5) 5．若函数 f(x)＝2x2－ax＋3 有一个零点是 1，则 f(－1)＝ ________. 答案：10
1．函数零点的概念 (1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其 函数值等于零； (2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐 标； (3)一般我们只讨论函数的实数零点； (4)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根．
3x－3的零点的是( )
A．[－1,0]
B．[1,2]
C．[0,1]
D．[2,3]
解析：由于f(0)＝－3＜0，f(1)＝1＞0，所以f(x)在区间[0,1]上存
在零点，故选C.
答案：C
考向二 判断函数零点的个数 (2013·豫东、豫北十校)已知f(x)是定义在[a，b]上的函数，其
图象是一条连续的曲线，且满足下列条件： ①f(x)的值域为G，且G⊆(a，b)； ②对任意的x，y∈[a，b]，都有|f(x)－f(y)|＜|x－y|.那么，关于x
【解】 (1)由f(x)＝ex(x2＋ax－a)可得 f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x].2分 当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e.4分 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)， 即y＝4ex－3e.5分
(2)令 f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x]＝0， 解得 x＝－(a＋2)或 x＝0.6 分 当－(a＋2)≤0，即 a≥－2 时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)≥0， 所以 f(x)是[0，＋∞)上的增函数， 所以方程 f(x)＝k 在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根.8 分 当－(a＋2)＞0，即 a＜－2 时，f′(x)，f(x)随 x 的变化情况如下 表：
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解 决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中， 画出函数的图象，然后数形结合求解．
3．若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的 取值范围是________．
解析：设函数y＝ax(a＞0，且a≠1)和函数y＝ x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两 个零点，就是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与函数y＝ x＋a有两个交点，由图象可知当0＜a＜1时两函数只有一个交点， 不符合；如图所示，当a＞1时，因为函数y＝ax(a＞1)的图象过点 (0,1)，而直线y＝x＋a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两 个交点．所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．
的区间为( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1
2
3
4
5
A.(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
解析：设f(x)＝ex－(x＋2)，
则由题设知f(1)＝－0.28＜0，f(2)＝3.39＞0，
故有一个根在区间(1,2)内．
答案：C
3．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝
ax2＋bx＋c(a
＞0)的图象
与x轴的交点 (x1,0) ， (x2,0) (x1,0)或(x2,0) 无交点
零点个数
两个
一个
零个
【基础自测】 1．(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的 是( )
答案：C
2．根据表中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在
2．(2013·广州模拟)函数f(x)＝
x2＋2x－3，x≤0， －2＋ln x，x＞0
的零点个数
为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x＝－3(x＝1舍去)；
当x＞0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0得x＝e2，所以函数有2个零点，故
选B.
答案：B
考向三 由函数零点的存在情况求参数值 (2013·浙江十二校二次联考)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2
＋ax－2. 若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象恰有一个公共点，求实数a的
值． 【审题视点】 y＝f(x)与y＝g(x)图象恰有一个公共点，即f(x)
－g(x)＝0恰有一根，转化为a的函数．
【解】 由题意得，f(x)－g(x)＝xln x＋x2－ax＋2＝0在(0，＋
∞)上有且仅有一个根，
Байду номын сангаас
即a＝ln x＋x＋2x在(0，＋∞)上有且仅有一个根．
A．－2
B．1
C．－2 或 1
D．0
(2)(2013·北京海淀模拟)函数 f(x)＝log2x－1x的零点所在区间为
()
A.0，12 C．(1,2)
B.21，1 D．(2,3)
【审题视点】 (1)将方程的根转化为两个函数图象交点问题， 结合图象以及单调性进行求解．
(2)根据区间(a，b)上的零点存在定理．f(a)f(b)＜0判定． 【解析】 (1)由题意知，x≠0，则原方 程即为lg(x＋2)＝1x，在同一直角坐 标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝1x 的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－ 2，－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k＝－2或k＝1.故选C.
阅卷点评 函数的零点，方程的根、图象的交点问题，三者之 间可以相互转化，常与导数综合．
规范步骤 第一步：把方程的根、图象的交点问题转化为函数 问题，并求导．
第二步：研究函数的单调变化． 第三步：研究函数的最值(或极值) 第四步：结合函数的性质描绘函数的图象特征，并用数形结合 法，求字母参数取值(范围)．
所以要使方程 f(x)＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，k 的取值范围是ae＋a＋24，－a.13 分
【思维流程】 求导，及 k＝f′(1)． 利用点斜式写切线方程． 讨论两极值点的大小，当－(a＋2)≤0，确定 f(x)在[0，＋∞)
上的单调性，从而判断 f(x)＝k 的根的情况． 当－(a＋2)＞0 时，f(x)在[0，＋∞)上先减后增． 求 f(x)在[0，＋∞)上的最小值 f(－(a＋2))． 利用数形结合，y＝k 与 y＝f(x)有两个交点时 k 的上限值． 写出答案．
备考建议 对函数的零点除掌握好常规的考向外，在备考中还 应关注以下几个问题：
(1)与函数的单调性、奇偶性、周期性、值域等性质的综合问题． (2)与指数、对数及三角函数图象与性质的综合问题． (3)与导数的应用综合在一起的解答题． (4)培养数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．
1．(2011·高考福建卷)若关于 x 的方程 x2＋mx＋1＝0 有两个不
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲 线，并且有 f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间 (a，b) 内有零点， 即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
2．对函数零点存在的判断中，必须强调： (1)f(x)在[a，b]上连续；(2)f(a)·f(b)＜0；(3)在(a，b)内存在零 点． 这是零点存在的一个充分条件，但不必要．
考向一 确定函数零点所在区间
(1)(2013·山东淄博模拟)若方程 xlg(x＋2)＝1 的实根在区间(k，
k＋1)(k∈Z)上，则 k 等于( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
解析：f(－1)＝2－1－3＝－52，f(0)＝1，
则f(x)＝2x＋3x在(－1,0)上有零点．
答案：B
4．(教材改编)设 f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程 3x＋3x－8 ＝0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0， 则方程的根落在区间________．
答案：(1，＋∞)
函数与方程思想的综合应用
(2013·海淀区高三期末)已知函数f(x)＝ex(x2＋ax－a)，其中a是 常数．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个 不相等的实数根，求k的取值范围． 【解题指南】 (1)直接求导，求斜率，利用点斜式建立直线方 程． (2)在[0，＋∞)上求f(x)的单调变化及最值，利用函数与方程的 思想求k的变化范围．
(2)∵f(12)＝log212－2＝－3＜0， f(1)＝log21－1＝－1＜0， f(2)＝log22－12＝12＞0， ∴函数f(x)＝log2x－1x的零点所在区间为(1,2)， 故应选C. 【答案】 (1)C (2)C
1．(2013·北京东城区模拟)在以下区间中，存在函数f(x)＝x3＋
相等的实数根，则实数 m 的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)